Kovarianz von Euler-Lagrange-Gleichungen unter Änderung generalisierter Koordinaten

I) Die Euler-Lagrange (EL)-Gleichungen verhalten sich bei Umparametrisierungen kovariant$^1$des Formulars

$$\tag{1} q^{\prime i}=f^i(q,t),$$

dh es ist äquivalent, vor oder nach dem Bilden der EL-Gleichungen neu zu parametrieren.

II) Die obige Eigenschaft gilt sogar für einen Lagrangian$L(q,\dot{q},\ddot{q},\ldots, \frac{d^Nq}{dt^N};t)$das hängt von Zeitableitungen höherer Ordnung ab, obwohl in einem solchen Fall eine Version höherer Ordnung von Euler-Lagrange-Gleichungen mit Ableitungen höherer Ordnung benötigt wird.

III) Allerdings für eine geschwindigkeitsabhängige Umparametrierung$q^{\prime }=f(q,\dot q,t)$, die OP in seiner zweiten Zeile (v2) erwähnt, führt die Substitution davor oder danach im Allgemeinen zu EL Gl. verschiedener Ordnungen. Wir erwarten, dass die EL-Gl. immer über die entsprechenden EL-Gl. niedrigerer Ordnung zu faktorisieren, so dass Lösungen der EL-Gl. niedrigerer Ordnung. sind auch Lösungen für die EL-Gleichungen höherer Ordnung. aber nicht umgekehrt.

Ebenso für beschleunigungsabhängige Umparametrierungen etc.

IV) Beispiel: Betrachten Sie die geschwindigkeitsabhängige Umparametrierung

$$\tag{2} q^{\prime}~=~q+A \dot{q}, \qquad A>0,$$

des Lagrange$^2$

$$\tag{3} L^{\prime}~=~ \frac{1}{2} q^{\prime 2}~=~\frac{1}{2}(q+A \dot{q})^2~\sim~ \frac{1}{2}q^2 +\frac{A^2}{2} \dot{q}^2.$$

(Wir nennen$q^{\prime}$Und$q$die alten bzw. neuen Variablen.) Vorher ist die EL-Gleichung in den neuen Variablen von erster Ordnung$^3$

$$\tag{4} 0\approx q^{\prime}~=~q+A \dot{q},$$

mit nur exponentiell abfallenden Lösungen. Nach der Umparametrierung ist die EL-Gleichung von zweiter Ordnung

$$\tag{5} 0\approx q- A^2 \ddot{q}~=~(1-A\frac{d}{dt})(q+A \dot{q}),$$

damit es mehr Lösungen hat. Beachten Sie jedoch, dass Gl. (5) faktorisiere über (=erhältlich aus) Gl. (4) durch Anwendung eines Differentialoperators$1-A\frac{d}{dt}$.

--

$^1$An eine Reparametrisierung (1) gibt es verschiedene Standard-Regularitätsbedingungen wie zB Invertierbarkeit und hinreichende Differenzierbarkeit. Es wird implizit angenommen, dass sich die höheren Strahlen (Geschwindigkeit, Beschleunigung, Ruck usw.) auf natürliche Weise umwandeln.

$^2$Der$\sim$Vorzeichen bedeutet hier gleiche Modulo-Gesamtableitungsterme.

$^3$Der$\approx$Vorzeichen bedeutet hier gleich Modulo der EL-Gleichungen.

Wenn Sie die Lagrange-Koordinaten ändern (muss aber nicht unbedingt das Bezugssystem ändern!), haben Sie es mit einem Strahlbündel über der realen Zeitlinie zu tun$\mathbb R$(ausgestattet mit einer bevorzugten Koordinate$t$bis auf eine additive Konstante definiert), haben Sie

$$t' = t+c\quad, q'^k = q'^k(t,q)\:,\quad \dot{q}'^k = \sum_j\frac{\partial q'^k}{\partial q^j} \dot{q}^j + \frac{\partial q'^k}{\partial t}\:.\tag{1}$$ Da insbesondere diese Koordinatentransformation glatt, invertierbar und mit glatter Umkehrung sein muss, tritt sie auch auf $$\det \left[ \frac{\partial q'^k}{\partial q^j} \right] \neq 0\:,\quad \det \left[ \frac{\partial q^j}{\partial q'^k} \right] \neq 0 \tag{2'}\:.$$ Wenn Sie wie Sie davon ausgehen, dass die Lagrange-Funktion ein Skalar ist , dh $${\cal L}'(t',q', \dot{q}') = {\cal L}(t,q, \dot{q})\quad \mbox{where (1) hold,}\tag{2}$$ Sie können die folgende Identität überprüfen, die an jedem Punkt einer generischen Kurve (Abschnitt) gültig ist $t \mapsto \gamma(t):= (t, q(t), \dot{q}(t))$(auch mit dem anderen Koordinatensystem beschrieben) $$\left.\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial {\cal L}'}{\partial \dot{q}'^k} -\frac{\partial {\cal L}'}{\partial q'^k}\right)\right|_{\gamma(t)} = \sum_j\left.\frac{\partial q^j}{\partial q'^k}\right|_{\gamma(t)}\left.\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{q}^j} -\frac{\partial {\cal L}}{\partial q^j} \right)\right|_{\gamma(t)} \:,$$ wobei (2)' gilt.

Als Folge davon die Kurve$t \mapsto \gamma(t):= (t, q(t), \dot{q}(t))$erfüllt die Euler-Lagrange-Gleichungen bzgl${\cal L}'$und die Koordinaten$(t',q', \dot{q}')$genau dann, wenn es Euler-Lagrange-Gleichungen in Bezug auf verifiziert${\cal L}$und die Koordinaten$(t,q, \dot{q})$.