Die Operation des Skalarfeldes ϕ(x⃗ )ϕ(x→)\phi (\vec x) auf den Vakuumzustand

Ich lerne jetzt die Quantenfeldtheorie, indem ich die Vorlesungsunterlagen von David Tong lese.

Ich habe einige Fragen zur Moduserweiterung des realen Skalarfelds, das kanonisch quantisiert wird, indem das klassische Klein-Gordon-Feld in ein Quantenfeld umgewandelt wird.

Die Modenerweiterung des Feldes ist gegeben durch

$$\phi (\vec x) = \int \frac{d^{3}p}{(2 \pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_{\vec p}}} (a_{\vec p} e^{i {\vec p} \cdot {\vec x}} + a^{\dagger}_{\vec p} e^{-i {\vec p} \cdot {\vec x}})$$

Wo$\omega_{\vec p} = \sqrt{p^{2} + m^2}$Und$a^{\dagger}_{\vec p}$wird eine Drehung erzeugen$0$Teilchen im Impulszustand$\left| \vec p \right\rangle$, nämlich$a^{\dagger}_{\vec p} \left| {0} \right\rangle = \left| {\vec p} \right\rangle$.

Die Frage, die mich jetzt interessiert, ist, was ich bekomme, wenn ich das Quantenfeld im Vakuumzustand betreibe, das heißt$\phi (\vec x) \left| {0} \right\rangle = ?$

Das scheint in der Vorlesungsnotiz zu stehen$\phi (\vec x) \left| {0} \right\rangle = \left| {\vec x} \right\rangle$, Wo$\left| {\vec x} \right\rangle$ist die Drehung$0$Teilchen im Positionszustand bei$\vec x$.

(eq 2.52 in http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/two.pdf )

Dies scheint mir jedoch nicht trivial, weshalb ich die folgende Ableitung durchgeführt habe.

$$\phi (\vec x) \left| {0} \right\rangle = \int \frac{d^{3}p}{(2 \pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_{\vec p}}} (a_{\vec p} e^{i {\vec p} \cdot {\vec x}} + a^{\dagger}_{\vec p} e^{-i {\vec p} \cdot {\vec x}})\left| {0} \right\rangle$$ $$= \int \frac{d^{3}p}{(2 \pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_{\vec p}}} (\left| {\vec p} \right\rangle e^{-i {\vec p} \cdot {\vec x}})$$

Allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich das beweisen soll

$$\int \frac{d^{3}p}{(2 \pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_{\vec p}}} (\left| {\vec p} \right\rangle e^{-i {\vec p} \cdot {\vec x}}) = \left| {\vec x} \right\rangle$$

Ich weiß, dass wir in der elementaren Quantenmechanik haben

$$\left| {\vec x} \right\rangle = \int d^{3}p \left| {\vec p} \right\rangle \left\langle {\vec p} \right| \cdot \left| {\vec x} \right\rangle$$ Dies entspricht jedoch nicht dem, was ich beweisen möchte.

Es scheint eine dumme Frage zu sein, aber ich war einfach festgefahren.

Ich wäre für jeden Vorschlag dankbar!