Quantisierung des freien realen skalaren masselosen Feldes in 2d

Gibt es einen Literaturhinweis, wo man explizit die Quantisierung des freien realen skalaren masselosen Feldes in der 2-dimensionalen Raumzeit konstruiert? Insbesondere, wie der Propagator aussieht?

Der 4d-Fall wird in vielen Standardlehrbüchern in QFT behandelt, aber der 2d-Fall scheint aufgrund zusätzlicher Divergenzen, die in höheren Dimensionen nicht existieren, anders zu sein.

Zum Beispiel mit der Gleichung ◻ X ⟨ T ϕ ( X ) ϕ ( j ) ⟩ = δ ( 2 ) ( X − j ) und die Analogie mit dem 4d-Fall (die Feynman-Regel), von der man erwarten könnte, dass der Propagator proportional zu sein sollte

1 P 2 + ich ε = 1 ( P 0 ) 2 − ( P 1 ) 2 + ich ε .
In 2d ist diese verallgemeinerte Funktion jedoch nicht gut definiert, dh sie divergiert als ε → + 0 (selbst sein imaginärer Teil divergiert).

ADD: Lassen Sie uns die obige Behauptung beweisen, dass der Imaginärteil divergiert. Wir haben

ICH M ( 1 P 2 + ich ε ) = 1 2 ich ( 1 P 2 + ich ε − 1 P 2 − ich ε ) = − ε ( P 2 ) 2 + ε 2 .
Lassen ϕ ( P ) sei eine glatte, nicht negative Funktion, die in der Einheitskugel gleich 1 ist und außerhalb einer größeren Kugel verschwindet. Dann
− ∫ D P 2 ICH M ( 1 P 2 + ich ε ) ⋅ ϕ ( P ) = ∫ D 2 P ε ( P 2 ) 2 + ε 2 ⋅ ϕ ( P ) = ∫ D 2 P 1 ( P 2 ) 2 + 1 ⋅ ϕ ( ε P ) ,
wobei die letzte Gleichheit durch die Änderung von Variablen erreicht wird P ↦ ε P . Als ε → + 0 , das letzte Integral wird mindestens

∫ D 2 P 1 ( P 2 ) 2 + 1 .
Zeigen wir, dass dies unendlich ist. Lassen Sie uns die Variablen ändern X = P 0 − P 1 , j = P 0 + P 1 . Dann ist das letzte Integral
1 2 ∫ D X D j 1 ( X j ) 2 + 1 = 1 2 ∫ D j ∫ D X ( X j ) 2 + 1 = 1 2 ∫ D j 1 | j | ( ∫ D z z 2 + 1 ) = ∞ ,
wobei die zweite Gleichheit durch die Änderung der Variablen x=z/|y|$ erreicht wird. Das Ergebnis ist bewiesen.

Können Sie die Abweichungen, die Sie im Sinn haben, genauer beschreiben?
@SRS: Ich habe einen Kommentar dazu hinzugefügt. Ich denke jedoch, dass es auch einen anderen Weg gibt, der zu Divergenzen führt, der eher auf Berechnungen als auf Analogien basiert, aber es würde viel mehr Platz erfordern, das zu erklären.
Besorgen Sie sich ein beliebiges Buch über Stringtheorie oder 2d-CFTs (aber meistens ersteres). Das erste oder zweite nichttriviale Kapitel wird sich darum drehen.
Zweitens verstehe ich nicht, was das Problem mit dem Propagator ist, den Sie aufgeschrieben haben. Es ist vollkommen in Ordnung (im Impulsraum). Was ist das für eine Divergenz, von der du sprichst??
@Prahar: Ich habe einen Divergenzbeweis hinzugefügt. Ein genauerer Bezug auf ein Buch wäre toll.
@MKO: Sie haben gerade die Dirac-Delta-Funktion wiederentdeckt ...
@Adam: - ??????
@ Adam: Ich verstehe. Aber ich bin mir nicht sicher, ob das der Hauptpunkt meiner Frage war, obwohl es einige Überschneidungen gibt: Wir verwenden beide ähnlich aussehende Ausdrücke (die ich nicht wiederentdeckt habe ...).
@MKO: Was ist die Frage? Der Vermehrer ist in Ordnung...
@Adam: Nein, nicht gut. Lassen Sie mich wiederholen, dass der Hauptpunkt der Berechnung in meinem Beitrag der Ausdruck ist 1 P 2 + ich ε (als ε → + 0 ) macht in der 2-dimensionalen Raumzeit keinen Sinn. In höheren Dimensionen macht es jedoch Sinn.
Sie müssen die Grenze nehmen ϵ → 0 nach der Berechnung

Antworten (1)

Ich konnte in der Literatur eine Antwort auf meine Frage finden. Die Referenz lautet: AS Wightman, „Einführung in einige Aspekte von Quantisierungsfeldern“, in „Lectures notes, Cargese Summer School, 1964“.

Unten auf S. 204 Wightman schreibt: ".. es gibt kein mathematisches Objekt wie ein freies Skalarfeld der Masse Null in der zweidimensionalen Raumzeit, es sei denn, eine der üblichen Annahmen wird aufgegeben." Dann zeigt er, dass man die Annahme der Positivität des Skalarprodukts im Hilbert-Raum aufgeben kann, und er konstruiert die Quantisierung des freien masselosen Skalarfelds in einem "Hilbert"-Raum mit unbestimmter Metrik.

Lassen Sie mich das Argument wiederholen, das das obige Zitat erklärt. Lassen ϕ ( X ) ein solches Feld sein. Betrachten Sie die Funktion ⟨ 0 | ϕ ( X ) ϕ ( j ) | 0 ⟩ ≡ F ( X − j ) . Es befriedigt ◻ F = 0 . Seine Fourier-Transformation F ~ ist eine Lorentz-Invariantenverteilung, die erfüllt P 2 F ~ ( P ) = 0 und gestützt auf P 0 ≥ 0 . Somit F ~ stützt sich auf die Vereinigung zweier Halblinien { P 0 = P 1 , P 0 ≥ 0 } Und { P 0 = − P 1 , P 0 ≥ 0 } . Außerdem, wenn das Skalarprodukt dann positiv definit ist F ~ ist ein nicht negatives Maß. Man kann jedoch zeigen, dass jedes nicht-negative Lorentz-invariante Maß, das auf den obigen zwei Halbgeraden gestützt wird, proportional zu sein muss δ ( 2 ) ( P ) . Das bedeutet, dass F ( X − j ) = C Ö N S T .

Lassen Sie mich abschließend hinzufügen, dass ich noch eine andere Quelle gefunden habe (die ich nicht im Detail studiert habe), wo die Autoren anscheinend behaupten, dass man das freie masselose Skalarfeld in 2d quantisieren kann, wenn man die positive Eindeutigkeit des Skalarprodukts beibehält, aber aufgibt die Annahme, dass der Vakuumvektor eine endliche Norm hat. Siehe Bogolyubov, Logunov, Oksak, Todorov „Allgemeine Prinzipien der QFT“, Abschnitt 11.1.

Coleman 1973 ist auch eine Quelle der Einsicht.
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