Divergente Integrale in QFT

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Divergente Integrale in QFT

Physik
Verbreiter
Integration
Regulierung
Quantenfeldtheorie

Jägerin147

Ich fange an, etwas über QFT zu lernen, und mir ist aufgefallen, dass Integralen, die sonst divergieren würden, ein Wert zugewiesen wird, wenn wir dies durch Konturintegration unter Verwendung des Residuensatzes und der Feynman-Vorschrift tun, z

\begin{aligned} ich \int \frac{d^{4} p}{{(2 π)}^{4}} \frac{1}{p^{2} - M^{2}} & = & ich & \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{4}} & \int_{- \infty}^{\infty} d p^{0} \frac{1}{{(p^{0})}^{2} - E_{p}^{2}} \\ = & \frac{1}{2} & \int \frac{d^{3} p}{{(2 π)}^{3}} & \frac{1}{E_{p}} . \end{aligned}

$\begin{alignat}{7} i\int\dfrac{\mathrm{d}^4p}{\left(2\pi\right)^4}\dfrac{1}{p^2-M^2} & ~~=~~ & i & \int \dfrac{\mathrm{d}^3\textbf{p}}{(2\pi)^4} && ~~ \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}p^0\dfrac{1}{\left(p^0\right)^2-E^2_{\textbf{p}}} \\ & ~~=~~ & \dfrac{1}{2} &\int \dfrac{\mathrm{d}^3\textbf{p}}{\left(2\pi\right)^3} && ~~ \dfrac{1}{E_{\textbf{p}}}. \end{alignat}$

Das Integral ganz rechts in der ersten Zeile divergiert ( $p^0$ ist echt wie es ist $E_{\textbf{p}}$ ), aber wenn wir die Feynman-Vorschrift verwenden, dh den Integranden ändern

\frac{1}{{(p^{0})}^{2} - E_{p}^{2}} \to \frac{1}{{(p^{0})}^{2} - E_{p}^{2} + ich ϵ},

$\dfrac{1}{\left(p^0\right)^2-E^2_{\textbf{p}}} ~~ \rightarrow ~~ \dfrac{1}{\left(p^0\right)^2-E^2_{\textbf{p}} + i\epsilon} \,,$ Wir können dies mit dem Residuensatz zu einem endlichen Wert auswerten (der verwendet wurde, um von der ersten zur zweiten Zeile zu gehen). Übrigens divergiert das Integral auf der zweiten Zeile immer noch und wir müssen es regularisieren.

Aber meine Frage betrifft den ersten Schritt, warum ist es gültig, diesem Integral einen Wert zuzuweisen, indem man einfach seine Pole verschiebt? Das Integral ist nicht konvergent, wenn wir seine Pole verschieben, bewerten wir ein anderes Integral, nicht dasselbe, mit dem wir begonnen haben.

Triatticus

Obwohl nicht dasselbe, eine verwandte Frage (und eine sehr gute Antwort auf den sich verschiebenden Konturteil ) physical.stackexchange.com/q/138217 . Meist eine Randbemerkung, warum man den Imaginärteil in den Nenner addieren kann

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Divergente Integrale in QFT

Obwohl nicht dasselbe, eine verwandte Frage (und eine sehr gute Antwort auf den sich verschiebenden Konturteil ) physical.stackexchange.com/q/138217 . Meist eine Randbemerkung, warum man den Imaginärteil in den Nenner addieren kann

AccidentalFourierTransform · Answer 1

Dies ist eine häufige (und gute) Frage, die darauf zurückzuführen ist, dass Einführungstexte ernster genommen werden, als man sollte.

Liest man solche Texte, bekommt man den Eindruck, das sei Philosophie

Wir gehen so naiv wie möglich vor und wenn wir eine Abweichung finden, regulieren wir sie.

Auf der anderen Seite ist die richtige (und viel nützlichere) Einstellung

Wir nehmen die Dinge von Anfang an ernster und stellen sicher, dass alle Ausdrücke immer endlich sind. Wir regeln die Dinge nicht von unterwegs, sondern gehen von einer endlichen Theorie aus.

Die zweite Einstellung ist vielleicht etwas komplizierter zu formulieren, und deshalb folgen ihr keine einleitenden Texte. Es ist einfacher, Dinge unterwegs zu beheben, als Probleme zu antizipieren, mit denen der Leser nicht vertraut ist. Aber sobald das globale Bild mehr oder weniger klar ist, sollte man die Philosophie auf die richtigere ändern, wo alles von Anfang an endlich ist.

In diesem Sinne wird die Frage von OP bedeutungslos, wenn man sie im Zusammenhang mit der zweiten Einstellung betrachtet: Wir stellen nichts vor $+i\epsilon$ und Ändern des Integrals; vielmehr die $+i\epsilon$ war immer da , seit Anfang an. OP fragt, warum es gültig ist, einem Integral durch Ändern des Integranden einen endlichen Wert zuzuweisen. Sie haben Recht mit ihrer Skepsis: Integrale sind, was sie sind, und wenn Sie sie ändern, berechnen Sie etwas anderes. Sie dürfen einen Integranden nicht ändern, da Sie sonst nicht das berechnen, was Sie berechnen wollten.

Die Lösung ist, dass, wenn Sie die Dinge von Anfang an richtig machen , das Integral, das Sie eigentlich berechnen möchten, das modifizierte ist, nicht das divergente.

Nun, QFT von Anfang an richtig zu formulieren, würde den Rahmen dieser Antwort sprengen, aber lassen Sie mich erwähnen, dass die $+i\epsilon$ Verschreibung und ihr Ursprung im Kontext der Pfad-Integral-Formulierung von QFT werden in diesem PSE-Beitrag diskutiert . Beim Operatorformalismus ist der Ursprung etwas anders (aber die Philosophie ist die gleiche). Alles in allem lautet die Antwort auf die Frage von OP: die $+i\epsilon$ wird nicht von Hand eingeführt, war aber immer da. Wenn Sie es vorher nicht gesehen haben, liegt es daran, dass der Text, dem Sie folgen, versucht hat, die Dinge so einfach wie möglich zu halten.

Ich habe noch nicht den Hintergrund, um auf die Mathematik einzugehen, die Sie in Ihrem anderen Beitrag beschrieben haben. Aber um meine Frage zu beantworten, die Herkunft der $i\epsilon$ Die Vorschrift in QFT kommt von den Randbedingungen auf den Feldern im Pfad-Integral-Formalismus, richtig? Wenn nicht derselbe Ursprung, werden die Randbedingungen auf „was“ im Operatorformalismus angewendet?
@ Slayer147 1) Ja, die $i\epsilon$ kommt aus den pfadintegralen Randbedingungen. 2) Im Operatorformalismus gibt es keine Randbedingungen (zumindest nicht im Standardfall; in einigen komplizierteren Fällen schon). Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Ursprung von zu verstehen $i\epsilon$ im Operatorformalismus. Am meisten gefällt mir, dass es Kausalität sicherstellt (dh es kommt vom Zeitordnungssymbol; genauer gesagt von der Fourier-Transformation der Treppenfunktion, vgl. Weinbergs QFT, Vol.1, §6.2).

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Jägerin147

Triatticus

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AccidentalFourierTransform

Jägerin147

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