Ist die Summe von Ein-Teilchen-irreduziblen Zwei-Punkte-Diagrammen immer eine reelle Zahl?

Question

Ist die Summe von Ein-Teilchen-irreduziblen Zwei-Punkte-Diagrammen immer eine reelle Zahl?

Physik
Verbreiter
1pi-effektive-Aktion
Quantenfeldtheorie

GotchaP

Auf Seite 388 in Abschnitt 11.6 von Peskin und Shroeder.
Es erscheint eine Gleichung des inversen Propagators (der zweiten funktionalen Ableitung der effektiven Wirkung) für eine Theorie, die mehrere Skalarfelder enthält:

\begin{matrix} (11.105) & K_{ich J}^{2} =: \int D^{4} X e^{ich P \cdot (X - j)} \frac{δ^{2} Γ}{δ ϕ^{ich} δ ϕ^{J}} (X, j) = 0 \end{matrix}

$K^2_{ij} =: \int d^4x e ^{ip\cdot (x-y)}\frac{\delta^2 \Gamma}{\delta \phi^i\delta \phi^j}(x,y)=0 \tag{11.105}$ Beim Diagonalisieren

K_{ich J}^{2} = P_{ich k} P_{J l} {\tilde{K}}_{k l}^{2} = (P \tilde{K} P^{T})_{ich J}, P : eine orthogonale Matrix

$K^2_{ij} = P_{ik}P_{jl}\tilde{K}^2_{kl} = (P\tilde{K}P^t)_{ij} \, , \quad P \,\text{:an orthogonal matrix}$ die Eigenschaft, dass

K_{i j}^{2}

$K^2_{ij}\,$ : real wird benötigt. Nach dem Diagonalisieren

{\tilde{K}}_{ich ich}^{2} = P^{2} - M_{ich 0}^{2} - M_{ich}^{2} (P^{2}) i: keine Summe,

$\tilde{K}^2_{ii}=p^2-m_{i0}^2-M_i^2(p^2) \quad\quad\text{i : no sum} \, ,$ Wo

m_{i 0}

$m_{i0}$ ist die bloße Masse der

i

$i$ tes Skalarfeld und

M_{i}^{2} (p^{2})

$M_i^2(p^2)$ ist die Summe von Ein-Teilchen-irreduziblen Zwei-Punkte-Diagrammen.
Ist

M_{i}^{2} (p^{2})

$M_i^2(p^2)$ immer eine reelle Zahl?
Das liegt einfach daran

{\tilde{K}}_{ich ich}^{2} = 0 \Leftrightarrow M_{ich}^{2} = M_{ich 0}^{2} - M_{ich}^{2} (M_{ich}^{2}) ?

$\tilde{K}^2_{ii}=0 \quad \Leftrightarrow \quad m_i^2=m_{i0}^2-M_i^2(m_i^2) \quad ?$ ,Wo

m_{i}

$m_i$ ist die physikalische Masse.
Ist das die ganze Geschichte? Gibt es einen anderen Grund?
Danke.

AccidentalFourierTransform

Beachten Sie, dass

M^{2} (p^{2})

$M^2(p^2)$ kann an der Schwelle der Paarbildung (Zweigschnitt) einen imaginären Teil ungleich Null erwerben, wenn das Modell instabile Teilchen enthält.

Spielbm

@AccidentalFourierTransform Würden Sie bitte auch Adams Antwort kommentieren, die darauf hinweist, dass das effektive Potenzial aus Sicht des Pfadintegrals nach der Wick-Rotation immer real ist.

Antworten (1)

Ist die Summe von Ein-Teilchen-irreduziblen Zwei-Punkte-Diagrammen immer eine reelle Zahl?

Beachten Sie, dass $M^2(p^2)$ kann an der Schwelle der Paarbildung (Zweigschnitt) einen imaginären Teil ungleich Null erwerben, wenn das Modell instabile Teilchen enthält.
@AccidentalFourierTransform Würden Sie bitte auch Adams Antwort kommentieren, die darauf hinweist, dass das effektive Potenzial aus Sicht des Pfadintegrals nach der Wick-Rotation immer real ist.

Adam · Answer 1

Adam

Die Matrix $K_{ij}$ Definieren Sie durch das OP nur die zweite Ableitung des effektiven Potentials (siehe Eine Frage zum Beweis des Satzes von Goldstone ). Das effektive Potential ist eine reale Funktion der Felder. Tatsächlich ist es die Legendre-Transformation des Logarithmus der erzeugenden Funktion, die nach der Wick-Rotation (und unter Verwendung von Notationen der quantenstatistischen Physik) als definiert ist

Z = ⟨ e^{- β (\hat{H} + J_{ich} \int_{X} {\hat{ϕ}}_{ich} (X))} ⟩,

$Z=\langle e^{-\beta (\hat H+J_i \int_x\hat \phi_i(x))} \rangle,$ wobei der Hamiltonoperator in Anwesenheit von (konstanten) Quellen hermitesch ist. Dies impliziert das

Z

$Z$ real ist (durch einfaches Diagonalisieren des Hamilton-Operators), und daher auch das effektive Potenzial.

Ihre zweite Ableitung, bewertet an ihrem Minimum, ist daher eine reelle symmetrische Matrix, die diagonalisiert werden kann, mit positiven (oder Null-)Eigenwerten.

Ohne Wick-Rotation könnte das effektive Potenzial je nach Definition rein imaginär sein, aber das ändert nichts an der Argumentation.

Spielbm

In Bezug auf die obigen Kommentare von AccidentalFourierTransform, also ist Z nicht unbedingt real? Aber es ist notwendig in dem Sinne, dass die Masse nicht-negativ definit sein muss. Können Sie weitere Kommentare abgeben?

Adam

@gamebm: In den Kommentaren von AccidentalFourierTransform geht es um die Tatsache, dass einige Propagatoren aufgrund des Zerfalls von einem Teilchen in eine andere Art von Teilchen Pole in der komplexen Ebene (und nicht nur auf der realen Linie) haben könnten. Dies geschieht aber nach der Wick-Rotation und ändert nichts daran, dass man die Matrix diagonalisieren kann

K

$K$ .

Spielbm

Ich verstehe es immer noch nicht. Die Ableitung zweiter Ordnung von

Γ

$\Gamma$ ist verwandt mit dem inversen Propagator (Gl. (11.90) & (11.92) im Lehrbuch), nämlich

p^{2} - m^{2} - M^{2} (p^{2})

$p^2-m^2-M^2(p^2)$ . Wenn der Massenpol in der komplexen Ebene liegt, ist die

M^{2}

$M^2$ ein Teil des Ausdrucks ist nicht real. Nach deiner Herleitung

Z

$Z$ ,

Γ

$\Gamma$ , und daher sind die zweiten Ableitungen des effektiven Potentials reell. Also blieb ich dabei, die zweite Ableitung sollte reell sein oder nicht? Ich weiß, dass ich offensichtlich etwas verpasst habe. Würden Sie bitte den Teil "nach der Wick-Rotation" genauer beschreiben, vielen Dank!

Adam

@gamebm:

x^{2} + 1

$x^2+1$ ist real, aber seine Nullstellen sind imaginär ... obwohl es ein zu einfaches Beispiel sein könnte, könnte Ihnen das helfen.

Spielbm

thx für die antwort! Ich sehe, du zeigst. Aber ist es für diese spezielle Frage buchstäblich der Fall? Für Resonanzzustände laut Lehrbuch (um S.235, wenn zwei Propagatoren gleichzeitig auf die Schale gehen),

M^{2}

$M^2$ besitzen tatsächlich sowohl nicht verschwindende Real- als auch Imaginärteile. Wie passt das in den Kontext? Danke im Voraus für die weiteren Erklärungen.

Adam

hast du die genaue Seite/Gleichung?

Spielbm

S.237 (7.58), der Ausdruck darunter und (7.61). Die Diskussionen beginnen auf S.232 über das "optische Theorem" in den Berechnungen des Feynman-Diagramms (2-Punkt-iPT ist ein Sonderfall). Es besagt, dass, wenn es zwei Vermehrern möglich ist, gleichzeitig auf die Schale zu gehen (in Bezug auf einen Schnitt, der durch zwei interne Linien geht), es eine zusätzliche gibt

i

$i$ Faktor, aus dem möglicherweise der Imaginärteil entsteht. Anschließend wird beispielhaft der Fall „instabiles Teilchen“ behandelt. Der wahre Teil von

M^{2}

$M^2$ geht zur Massenkorrektur, während der Imaginärteil zur Halbwertszeit beiträgt.

Adam

@gamebm: Das passiert, weil

p

$p$ hat einen kleinen Imaginärteil

i ϵ

$i\epsilon$ , um einen retardierten Propagator zu erhalten. Aber solange Sie in der euklidischen Raumzeit arbeiten (wo alles gut definiert ist), ist die Selbstenergie real (bis auf triviale Faktoren, die sich aus den Definitionen des Potenzials usw. ergeben).

Spielbm

Ich bin mir nicht sicher, ob ich das verstehe, der kleine imaginäre Teil der Masse ist immer da, selbst für stabile Teilchen, hier ist das Buch eine Diskussionsresonanz und die Feynman-Regeln, die zu einem endlichen imaginären Beitrag führen. Die Berechnungen dort zeigen explizit, wie es passiert, wenn man zwei Propagatoren gleichzeitig schneiden kann, bitte geben Sie genau an, wie es im euklidischen Raum als Integral verstanden werden kann. Ich entschuldige mich für die Unwissenheit.

Adam

In der euklidischen Raumzeit sind alle Diagramme reell (bis auf triviale Faktoren je nach Definition etc.). Daher gibt es keinen Imaginärteil. Wenn man an Echtzeit interessiert ist (zB der Zerfall eines Teilchens), muss man die Propagatoren analytisch fortsetzen, indem man verwendet

i p_{0} \to p_{0} + i ϵ

$ip_0\to p_0+i\epsilon$ , so kann ein endlicher Imaginärteil aussehen. Siehe arxiv:1108.5207 Abschnitt IV für eine explizite Berechnung + analytische Fortsetzung.

Spielbm

Sehr dankbar für die Kommentare! ich verstehe das

Z

$Z$ im euklidischen Raum ist reell, da das Pfadintegral äquivalent zur Zustandssumme ist, die positiv definit ist. Mein Zweifel besteht jedoch aus einer anderen Sichtweise, gemäß den Kommentaren von AccidentalFourierTransform, bei der es um die explizite Berechnung der Selbstenergiekorrektur geht, und der Imaginärteil nicht infinitesimal, sondern endlich ist, ersteres impliziert ein stabiles Teilchen, letzteres entspricht ein Resonanzzustand mit endlicher Lebensdauer. Können Sie sich explizit dazu und zu ihrer Beziehung äußern?

Adam

@gamebm: Ja, der Imaginärteil kann endlich sein, aber das ist nur so, wenn Sie sich in der Minkowski-Raumzeit befinden. Wenn es immer noch unklar ist, würde ich vorschlagen, dass Sie eine neue Frage stellen. Das wäre einfacher zu beantworten als in den Kommentaren hier.

Spielbm

fertig, ich habe eine neue Frage gestellt, danke!

Spielbm

physical.stackexchange.com/questions/358329/…

Ist die Summe von Ein-Teilchen-irreduziblen Zwei-Punkte-Diagrammen immer eine reelle Zahl?

GotchaP

AccidentalFourierTransform

Spielbm

Antworten (1)

Adam

Spielbm

Adam

Spielbm

Adam

Spielbm

Adam

Spielbm

Adam

Spielbm

Adam

Spielbm

Adam

Spielbm

Spielbm

One-Loop 1PI effektive Aktion und gekleidete Propagatoren

Beweis der Zweipunktfunktion der geometrischen Reihe

Über die Berechnung des Ein-Teilchen-irreduziblen Zwei-Punkte-Diagramms

Cutoff-abhängiger "inverser Propagator" zur Renormierung

Wie berechnet man die quanteneffektive Wirkung aus 1PI-Feynman-Diagrammen?

Intuition für Spin 1/2 und 1 Propagatoren

Nicht-Kovarianz des höherrangigen Propagators (aus Weinbergs QFT-Lehrbuch)

Dirac Current Spectral Representation

Hat die effektive Theorie in der Teilchen- und der Festkörperphysik dieselbe Bedeutung?

Matsubara-Feldtheorie - was bedeutet imaginäre Zeit ττ\tau in G(τ,x)G(τ,x)G(\tau,\mathbf{x})?