Warum ist die Pfad-Integralwirkung in den meisten QFTs mit kondensierter Materie nicht real?

Ich denke, die genauere Frage lautet: "Warum ist dieser Begriff in diesem imaginären Zeitpfad-Integral imaginär?"

Tatsächlich gibt es im pfadintegralen Formalismus (imaginäre Zeit) keinen generischen Grund dafür, dass eine Aktion real ist. Tatsächlich können Sie sich vorstellen, dass dies genau ein Merkmal der Quantenmechanik ist: Die Amplitude eines Pfads kann komplex sein. Beim Echtzeit-Pfadintegral ist der Aktionsteil reell, wird durch die Unitarität gefordert. Einige Begriffe können jedoch nach der Wick-Rotation imaginär werden. Das einfachste Beispiel ist wohl der Berry-Phasenterm durch äußeres Magnetfeld für Einzelteilchen:

$$\exp{\left( i \int \mathrm{d}t \, \left[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \cdot A \right]\right)} ~~=~~\exp{\left[- \int \mathrm{d}\tau \, \left(-i\right) \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\tau} \cdot A \right]}$$

Die Antwort auf Ihre Frage (der Einfachheit halber nehme ich ein einzelnes Boson):$\int \mathrm{d}\tau \, b^{*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau} b$ist eigentlich auch ein Berry-Phasenterm, wenn man ein kohärentes Zustandspfadintegral macht. Diese Art von Berry-Phasenterm stammt nicht von einem externen Eichfeld, sondern von der Verwendung einer übervollständigen Basis.

Eine heuristische Betrachtungsweise: der Begriff$\int \mathrm{d}\tau \, b^{*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau} b$kam aus$\int \mathrm{d}t \, i b^{*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} b$vor der Wick-Rotation, die vom Legendre-Übergang von Hamilton zu Lagrange kam (weil$\left[i b^{\dagger},b\right]=i$und kann als das konjugierte Momentum der anderen angesehen werden). Der entsprechende Term in der Integralanalogie mit Einzelteilchenpfaden lautet

$$\exp{\left(i \int \mathrm{d}t \, p \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d} t} \right)} ~~=~~\exp{\left(- \int \mathrm{d}\tau \, \left[ -i p \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d} \tau}\right]\right)} \,,$$ was auch eingebildet ist.

Die Quelle dieses Begriffs aus der kanonischen Quantisierung ($Z=Tr(e^{-i H t })$) zu Pfadintegral ($Z=\int Dq \, e^{i S[q] })$) erfolgt durch Einfügen kohärenter Zustände $|\alpha \rangle=|x,p\rangle$als übervollständige Basis,

$$\int \mathrm{d}x \, \mathrm{d}p \, \left|x,p \right> \, \left< x, p \right| ~\propto~ I \,,$$ und die Nicht-Orthogonalität dazwischen $|x,p\rangle$Und $|x',p'\rangle$gibt $\exp{\left(i \int \mathrm{d}t \, p \, \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d} t}\right)}.$Genau das Gleiche gilt für die Feldtheorie, die Sie geschrieben haben.

Beachten Sie, dass sich diese Herleitung von der Herleitung im Lehrbuch der elementaren Quantenmechanik unterscheidet. Es ist eine lustige Übung. Falls Sie auf Schwierigkeiten stoßen, eine zufällige Quelle, die ich gerade bei Google gefunden habe, ist eine Notiz von Fradkin .

Ihre Formulierung basiert auf dem imaginären Zeitwegintegral. Die komplexe Konjugation von$\frac{\partial}{\partial \tau}$,

$$\left(\frac{\partial}{\partial \tau}\right)^\star = -\frac{\partial}{\partial \tau}$$ gibt Ihnen ein zusätzliches Minuszeichen. Daher ist das Wirkungsfunktional hermitesch.