Welche Intuition steckt hinter den Kramers-Kronig-Beziehungen?

Die Kramers-Kronig-Beziehungen sind im Fourier-Frequenzbereich Ausdruck dafür, dass die lineare Suszeptibilität$\chi(\tau)$ist eine kausale Funktion, dh die dielektrische Antwort des Signals$f$zu einem Zwang$F$hat die Form

$$f(t) = \int_0^\infty \chi(\tau) F(t-\tau) \mathrm d\tau = \int_{-\infty}^\infty \theta(\tau)\chi(\tau) F(t-\tau) \mathrm d\tau$$ mit $\theta(\tau)$die Heaviside Step-Funktion, damit $f(t)$hängt nicht davon ab $F(t')$für $t'>t$.

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Eine Möglichkeit zu verstehen, wie dies zu den Kramers-Kronig-Beziehungen führt, besteht darin, die Fourier-Transformation von zu untersuchen$\chi(\tau)$direkt,

$$\tilde \chi(\omega) = \int_{-\infty}^\infty \chi(\tau) e^{i\omega\tau} \mathrm d\tau = \int_{0}^\infty \chi(\tau) e^{i\omega\tau} \mathrm d\tau,$$ wo der Fourier-Kern $e^{i\omega\tau}$wird nur über einen einseitigen Strahl gerufen. Das heißt also, wenn die Fourier-Transformation $\tilde\chi(\omega)$wird mit einer Frequenz ausgewertet $\omega$mit positivem Imaginärteil, dann gilt die Dreiecksungleichung als $$|\tilde \chi(\omega)| \leq \int_{0}^\infty |\chi(\tau)| e^{-\mathrm{Im}(\omega)\tau} \mathrm d\tau$$ garantiert, dass (solange $\chi(\tau)$ist Klasse $L_1$, was typischerweise eine Standardannahme für die Fourier-Transformation über Real ist $\omega$erst definiert werden) $\tilde\chi(\omega)$definiert ist und eine Analytik über die gesamte komplexe obere Halbebene aus $\omega$.

Dies ist äußerst wichtig, da die Klasse der analytischen Funktionen äußerst starr ist und dies dem Verhalten von strenge Einschränkungen auferlegt$\tilde\chi(\omega)$. Die Kramers-Kronig ist eine dieser Einschränkungen – im Wesentlichen eine Version der Cauchy-Integralformel, angewendet auf eine Kontur, die entlang der reellen Achse verläuft, mit einer infinitesimalen Halbschleife über den Pol und dann zurück über einen Kreis im Unendlichen .

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Ich glaube jedoch nicht, dass dies die nützlichste Art ist, die Dinge zu sehen, und es gibt ein schönes Zeitbereichsargument, das viel klarer ist. Es ist in Wikipedia ziemlich gut erklärt, aber es muss hier wiederholt werden. Aus zeitbezogener Sicht ist die Kramers-Kronig-Beziehung eine einfache Mischung aus zwei wichtigen Erkenntnissen:

• Die Real- und Imaginärteile der Fourier-Transformation$\boldsymbol{ \tilde\chi(\omega)}$stehen in einer Eins-zu-eins-Entsprechung mit den geraden und ungeraden Teilen des Zeitbereichs$\boldsymbol{\chi(\tau)}$Dies ist ein einfaches Stück Standard-Fourier-Überlieferung - wenn eine Funktion gerade ist, ist ihre Fourier-Transformation real, und wenn sie ungerade ist, ist ihre Transformation imaginär; für beliebige Funktionen addieren Sie einfach die beiden.

• Wenn eine Funktion für alle Zeiten Null ist$\boldsymbol{\tau<0}$dann müssen seine geraden und ungeraden Teile bei gleich sein$\boldsymbol{\tau>0}$und gegenüber bei$\boldsymbol{\tau<0}$. Mit anderen Worten, der einzige Weg zu haben$\chi(\tau)=0$für alle$\tau<0$ist, die geraden und ungeraden Teile durch gegeben zu haben

  $$\begin{align} \chi_\mathrm{even}(\tau) & = \frac12 \chi(|\tau|) \\ \chi_\mathrm{odd}(\tau) & = \frac12 \mathrm{sgn}(\tau)\chi(|\tau|), \end{align}$$ oder mit anderen Worten $$\chi_\mathrm{odd}(\tau) = \mathrm{sgn}(\tau)\chi_\mathrm{even}(\tau) \quad \text{and} \quad \chi_\mathrm{even}(\tau) = \mathrm{sgn}(\tau)\chi_\mathrm{odd}(\tau).$$

Die Kramers-Kronig-Beziehungen sind nur die Fourier-Transformationen dieser beiden Identitäten, wobei das Faltungstheorem verwendet wird , um die Transformationen dieser Produkte zu berechnen. Dies macht diese Transformationen zu Faltungen,

$$\mathcal{F}\left[\chi_\mathrm{odd}\right] = \mathcal{F}\left[\mathrm{sgn}\right] \ast \mathcal{F}\left[\chi_\mathrm{even}\right] \quad \text{and} \quad \mathcal{F}\left[\chi_\mathrm{even}\right] = \mathcal{F}\left[\mathrm{sgn}\right] \ast \mathcal{F}\left[\chi_\mathrm{odd}\right]$$ und wenn wir diese erste Einsicht einsetzen, erhalten wir $$i\operatorname{Im}\mathopen{}\left(\tilde\chi\right) \mathclose{} = \mathcal{F}\left[\mathrm{sgn}\right] \ast \operatorname{Re}\mathopen{}\left(\tilde\chi\right) \mathclose{} \quad \text{and} \quad \operatorname{Re}\mathopen{}\left(\tilde\chi\right) \mathclose{} = \mathcal{F}\left[\mathrm{sgn}\right] \ast i\operatorname{Im}\mathopen{}\left(\tilde\chi\right) \mathclose{},$$ und wenn wir diese Faltungen explizit machen, erhalten wir $$\begin{align} \operatorname{Im}\mathopen{}\left(\tilde\chi(\omega)\right) \mathclose{} & = -i\int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}\left[\mathrm{sgn}\right](\omega-\omega') \, \operatorname{Re}\mathopen{}\left(\tilde\chi(\omega') \right) \mathclose{} \mathrm d\omega' \quad \text{and} \\ \operatorname{Re}\mathopen{}\left(\tilde\chi(\omega)\right) \mathclose{} & = i \int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}\left[\mathrm{sgn}\right](\omega-\omega') \, \operatorname{Im}\mathopen{}\left(\tilde\chi(\omega') \right) \mathclose{} \mathrm d\omega' \end{align}$$ (Modulo die Tatsache, dass ich mich nicht um die Normalisierung der Transformationen und Faltungen kümmere).

Was die Kernstücke der Intuition anbelangt, so ist es wirklich: Diese Identitäten haben jetzt dieselbe strukturelle Form wie die endgültigen Kramers-Kronig-Beziehungen, und das einzige, was noch übrig bleibt, ist die Fourier-Transformation der Vorzeichenfunktion zu berechnen : ist wie die Fourier-Transformation der Heaviside-Funktion eine Verteilung, und ihre Fourier-Transformation ist nicht trivial zu berechnen, aber daher kommt der Cauchy-Hauptwert.

Lassen Sie mich dies abschließend mit der grafischen Zusammenfassung des Prozesses von Wikipedia abschließen:

^Bildquelle

Die Kramers-Kronig-Relationen sind einfach die Aussage, dass die Funktion im Zeitbereich kausal ist, oder speziell die Funktion im Zeitbereich die Form hat

$$\epsilon(t)=\theta(t)f(t)$$

Wo$f(t)$ist eine Funktion der Zeit, und$\theta$ist die Heaviside-Theta-Funktion, die für negative Zeiten Null ist.

Physikalisch bedeutet dies, dass die dielektrische Funktion kausal ist, sie ist nur ungleich Null, nachdem das System einen Impuls gefühlt hat.

Vielleicht möchten Sie sich diesen Link ansehen, um weitere Informationen zu erhalten

http://dx.doi.org/10.1088/0143-0807/33/6/1635