Dielektrizitätskonstante und Leitfähigkeit in der makroskopischen Maxwell-Gleichung

In meiner Experimentalphysik-Vorlesung betrachten wir die Maxwell-Gleichungen in Materie (makroskopische Maxwell-Gleichungen) und es gibt einen Punkt, an dem wir abspringen

Uns wurde gesagt, dass der Schritt trivial ist und wir ihn uns in unserer Freizeit ansehen sollten. Meine Frage wäre, wie komme ich von der ersten Gleichung zur zweiten?

Wenn ich mich nicht irre, kann ein Metall als Material mit einer Dielektrizitätskonstante betrachtet werden$\hat{\epsilon}_{bound}$aufgrund gebundener Elektronen und einer Leitfähigkeit$\hat{\sigma}$aufgrund freier Elektronen. Beides sollte frequenzabhängig sein$\hat{\epsilon}_{bound}(\omega),\hat{\sigma}(\omega)$. Blick auf die erste Gleichung$\vec D_{bound}$ist auf gebundene Elektronen zurückzuführen und$\vec j$ist auf die freien Elektronen zurückzuführen und in komplexer Schreibweise,$\hat{\vec{E}}=\vec{E}_0\cdot e^{-i\omega t}$ist das elektrische Feld einer ebenen Welle mit Frequenz$\omega$. Ich weiß nicht, ob es wichtig ist, aber wir haben ein Metall als Dielektrikum mit einer Dielektrizitätskonstante betrachtet$\hat{\epsilon}(ω) = \hat{\epsilon}_{bound}(ω) + \hat{\epsilon}_{free}(ω)$, Wo$\hat{\epsilon}_{free}(ω)$ist der Beitrag von freien Elektronen. Das ist nicht Teil der Frage, aber mich würde auch interessieren, wie die Dielektrizitätskonstante und die Leitfähigkeit zusammenhängen.