Lösen von Quantentunneln ohne Dochtrotation

Question

Lösen von Quantentunneln ohne Dochtrotation

Physik
Instantonen
Wegintegral
Dochtdrehung

Adam

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Es scheint, dass ich meine Frage nicht klar genug geschrieben habe, also werde ich versuchen, mehr am Beispiel des Quantentunnelns zu entwickeln. Als Haftungsausschluss möchte ich festhalten, dass es bei meiner Frage nicht darum geht, wie eine Wick-Rotation in der Pfadintegralformulierung durchgeführt wird!

Schauen wir uns die Wahrscheinlichkeit des Quantentunnelns in der Pfadintegralformulierung an. Das Potential ist gegeben durch $V[x(t)]=(x(t)^2-1)^2$ , die zwei Minima bei hat $x=\pm x_m=\pm1$ . Da das Teilchen bei beginnt $t=-\infty$ bei $x=-x_m$ , wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür $x=x_m$ bei $t=\infty$ . Die Wahrscheinlichkeitsamplitude ist gegeben durch

K (X_{M}, - X_{M}, T) = ⟨ X_{M} | e^{- ich \hat{H} T} | - X_{M} ⟩

$K(x_m,-x_m,t)=\langle x_m|e^{-i \hat H t}|-x_m \rangle$

Der übliche Trick besteht darin, Wick zu drehen $t\to-i\tau$ , berechnen Sie alles in imaginärer Zeit mit einer Sattelpunktnäherung und drehen Sie am Ende der Berechnung zurück in die Echtzeit. Ich verstehe, wie es funktioniert. Kein Problem damit.

Was ich verstehen möchte ist

Wie kann ich die Berechnung durchführen, ohne die Wick-Rotation zu verwenden?
Wie hängt diese Lösung mit der euklidischen Formulierung zusammen?

Grundsätzlich sollten wir die Berechnung mit der Wegintegralformulierung in Echtzeit durchführen können

\int D X (T) e^{ich S [X (T)] / ℏ}

$\int Dx(t) e^{i S[x(t)]/\hbar}$

In der Näherung der stationären Phase suchen wir nach einem komplexen Pfad $x(t)$ was die Aktion minimiert, und erweitern Sie um diesen Punkt.

Wählen $m =1$ der Einfachheit halber. Die Bewegungsgleichung ist

\ddot{X} - 2 X + 2 X^{3} = 0

$\ddot x-2 x+2x^3=0$

die keine reelle Lösung hat, dh keine Newtonsche (klassische) Lösung. Aber es gibt eine komplexe Funktion, die es löst: $x_s(t)=i \,\tan(t)$ . Ein Problem ist, dass es sich ziemlich schlecht verhält. Wenn ich dies trotzdem als korrekte Lösung akzeptiere, sollte ich in der Lage sein, die Gaußschen Schwankungen zu berechnen, alle Knicke / Antikinks usw $\tau\to -it$ ). Habe ich recht?

Meine Frage ist also: Ist es möglich, die Berechnung auf diese Weise durchzuführen, und wenn ja, wie hängt es mit dem Trick zusammen, in imaginärer Zeit hin und her zu gehen?

Original

Ich habe eine Frage zur mathematischen Bedeutung der Wick-Rotation in Pfadintegralen, wie sie beispielsweise zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit verwendet wird, durch eine Barriere zu tunneln (unter Verwendung von Instantonen).

Ich bin mir bewusst, dass bei der Berechnung eines gewöhnlichen Integrals mit der Näherung der stationären Phase

$\int dx e^{i S(x)/\hbar}$

mit $x$ Und $S$ echt, man sollte sich das mindest anschauen $S(z)$ in der gesamten komplexen Ebene, die beispielsweise auf der imaginären Achse liegen kann.

Bei einem Pfadintegral will man rechnen

$\int Dx(t) e^{i S[x(t)]/\hbar}$

und es gibt a priori keinen grund, dass der "klassische weg" abgeht $x_a(t_a)$ Zu $x_b(t_b)$ (dh das minimiert $S[x(t)]$ ) sollte auf der reellen Achse liegen. Ich habe kein Problem damit. Was ich nicht wirklich verstehe, ist die Bedeutung der Wick-Rotation $t\to -i\tau$ aus (Laien-) mathematischer Sicht, weil es nicht so ist, als ob die Funktion $x(t)$ wird als imaginär angesehen (sagen wir, $x(t)\to i x(t)$ ), aber es ist seine Variable, die wir ändern!

Insbesondere wenn ich das Pfadintegral diskretisiere (was man tun sollte, um einen Sinn daraus zu machen), erhalte ich

$\int \prod_n d x_n e^{i S(\{x_n\})/\hbar}$ .

Wo $S(\{x_n\})=\Delta t\sum_n\Big\{ (\frac{x_{n+1}-x_n}{\Delta t})^2-V(x_n)\Big\}$

Auf dieser Ebene gilt die Wick-Rotation für die Zeitscheibe $\Delta t\to -i\Delta \tau$ und scheint keine sinnvolle Änderung der Variablen im Integral zu sein

Ich verstehe das, wenn ich mit einem Evolutionsoperator beginne $e^{-\tau \hat H/\hbar}$ Ich werde das Pfadintegral nach der Wick-Rotation erhalten, aber es scheint ein verworrenes Argument zu sein.

Die Frage ist: Ist es mathematisch sinnvoll, die Wick-Rotation direkt auf der Ebene des Pfadintegrals durchzuführen, insbesondere wenn es diskretisiert ist?

Eduard Hughes

Hier ist eine Referenz für alle, die mit dem genauen Problem nicht vertraut sind.

Benutzer17116

Das aktuelle Papier könnte hilfreich sein: arxiv.org/abs/1312.1772

QMechaniker

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/323456/2451 und Links darin.

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Lösen von Quantentunneln ohne Dochtrotation

Hier ist eine Referenz für alle, die mit dem genauen Problem nicht vertraut sind.
Das aktuelle Papier könnte hilfreich sein: arxiv.org/abs/1312.1772
Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/323456/2451 und Links darin.

Eduard Hughes · Answer 1

Ich denke, das Pfadintegral ist hier ein kompletter Ablenkungsmanöver! Ich werde versuchen, Sie davon zu überzeugen, dass die Wick-Rotation eine völlig gleichwertige Schreibweise der Lagrange-Funktion in der klassischen Feldtheorie ergibt.

Betrachten Sie eine klassische Aktion

S [X] = \int L [X (T)] D T

$S[x] = \int L[x(t)] dt$

Wo $x:\mathbb{R} \to \mathcal{M}$ für einige Zielmannigfaltigkeit $\mathcal{M}$ . Der Lagrange-Operator ist schematisch gegeben durch

L [X (T)] = {({\frac{D X (S)}{D S} |}_{S = T})}^{2} - v (X (T))

$L[x(t)] = \left(\left.\frac{dx(s)}{ds}\right|_{s=t}\right)^2-V(x(t))$

Wo $V(x(t))$ ist ein Polynom in $x(t)$ die (kritisch) keine Derivate beinhaltet.

Jetzt analytisch weitermachen $x$ zu einer Funktion $\tilde{x}: \mathbb{C}\to\mathcal{M}$ durch Definieren $\tilde{x}(c) = x(|c|)$ was offensichtlich analytisch ist. Umbenennen $\tilde{x}$ als $x$ der Einfachheit halber. Definieren Sie eine neue Variable

τ = ich T

$\tau = it$

innerhalb des Integrals und ersetzen. ( Warnung : Es gibt mathematische Feinheiten bei komplexen Substitutionen, die mit Jordans Lemma behandelt werden sollten). Abgesehen von den Feinheiten ist das resultierende Integral

S [X] = \int L [X (- ich τ)] (- ich) D τ

$S[x] = \int L[x(-i\tau)](-i)d\tau$

Lassen Sie uns nun genauer untersuchen, was mit dem Lagrange passiert. Betrachten wir den ersten Term, den wir haben

{({\frac{D X (S)}{D S} |}_{S = - ich τ})}^{2}

$\left(\left.\frac{dx(s)}{ds}\right|_{s=-i\tau}\right)^2$

Ändern Sie die Differenzierungsvariable in $u = is$ und dieser Begriff wird

{(ich {\frac{D X (u)}{D u} |}_{u = τ})}^{2}

$\left(i\left.\frac{dx(u)}{du}\right|_{u=\tau}\right)^2$

Umetikettieren $u\to s$ wir sehen, dass der erste Term die gleiche Form wie ursprünglich hat, aber mit $t$ ersetzt durch $\tau$ und ein zusätzliches Minuszeichen, nämlich.

- {({\frac{D X (S)}{D S} |}_{S = τ})}^{2}

$-\left(\left.\frac{dx(s)}{ds}\right|_{s=\tau}\right)^2$

Nun zur möglichen Laufzeit. Das ist viel einfacher, weil $x(-i\tau)=x(|-i\tau|)=x(\tau)$ definitionsgemäß ist also der potentielle Begriff gerecht

v (X (τ))

$V(x(\tau))$

die genau die gleiche Form wie ursprünglich hat. Nun definieren wir einen euklidischen Lagrangian

L_{E} (X (τ)) = {({\frac{D X (S)}{D S} |}_{S = τ})}^{2} + v (X (τ))

$L_E(x(\tau)) = \left(\left.\frac{dx(s)}{ds}\right|_{s=\tau}\right)^2+V(x(\tau))$

Wenn wir alles zusammenfügen, finden wir

S [X] = ich \int L_{E} [X (τ)] D τ

$S[x] = i\int L_E[x(\tau)]d\tau$

Endlich definieren

S_{E} [X] = \int L [X (T)] D T

$S_E[x] = \int L[x(t)]dt$

Wir sehen, dass es mathematisch äquivalent ist, das Pfadintegral zu berechnen als

\int D X \exp (ich S [X]) oder \int D X \exp (- S_{E} [X])

$\int \mathcal{D}x\exp(iS[x]) \textrm{ or } \int \mathcal{D}x\exp(-S_E[x])$

Danke für die Antwort, aber das ist nicht meine Frage. Ich weiß, wie man ein Pfadintegral formell Wick dreht. Aber wie würde man das alles beispielsweise in der diskreten Version des Integrals machen? Welche Änderung der Variablen von $x_n$ kann den Job machen?
@Adam - es ist keine Variablenänderung im Pfadintegral, sondern eine Variablenänderung im Aktionsintegral. Die Aktion selbst hängt nicht davon ab $t$ oder $\tau$ Es ist also nicht sinnvoll, nach einer Änderung in der Funktion zu suchen $x$ die die Änderung der Integrationsvariablen wiedergibt $t$ .
Ja, und das ist genau mein Punkt. Um auf mein Problem zurückzukommen, sucht man bei der Quantentunnelberechnung nach dem Minimum der Wirkung $S$ , was keine klassische (newtonsche) Trajektorie ist. Dies ist an sich kein Problem, da das Minimum irgendwo in der "komplexen Pfadebene" liegen kann. Dies scheint jedoch keine Transformationen wie z $t\to-i\tau$ Genau das sollten Sie tun, um das Integral für das Tunneln zu berechnen ...
Könnten Sie mir ein Beispiel für eine Tunnelberechnung zeigen, damit ich es mir ansehen kann? Ich fürchte, ich weiß nicht genug über Tunneling, um Ihren Standpunkt vollständig zu verstehen. Es scheint mir jedoch, dass Sie die Domäne und die Codomain der Funktion verwechseln $x$ . Die Wick-Rotation ergibt ein äquivalentes Aktionsfunktional eines Feldes $x:\mathbb{R}\to\mathcal{M}$ . Mit anderen Worten, es wirkt sich nicht auf den Zielverteiler aus $\mathcal{M}$ . Wenn $\mathcal{M}$ für Ihre Tunnelberechnung komplex sein darf, wird dies durch die Umparametrierung im Bereich von nicht beeinflusst $x$ !
Es ist hier skizziert physics.fsu.edu/Users/Dobrosavljevic/Phase%20Transitions/… Aber die Sache ist, dass die Leute direkt mit der euklidischen Aktion beginnen und am Ende analytisch in Echtzeit fortfahren. Es ist natürlich technisch bequem und korrekt, aber ich würde gerne einen einfachen Ansatz dieser Mean-Field-Berechnung verwenden (dh direkt auf die Lösung in Echtzeit schauen), aber es ist nicht offensichtlich, dass es das gleiche Ergebnis liefert.
Am Ende von Seite 2 in diesem Dokument ist sicherlich etwas falsch, da er einen Weg macht, der integral mit Maß ist $\mathcal{D}x(\tau)$ aber endet mit $\chi$ als Funktion der Dummy-Variablen $\tau$ . Ich habe das Gefühl, dass es zwei "imaginäre Zeit" -Variablen geben soll $\tau$ Und $\tau'$ Wo $\tau'$ wird über und integriert $\tau$ erscheint in $\chi(\tau)$ und der Downstairs-Faktor von $x(\tau)$ nur. Vielleicht ist das der Grund für deine Verwirrung?
Nö, das ist nicht das Problem. Ich werde die Frage bearbeiten, um sie klarer zu machen.
Okay - jetzt verstehe ich das Problem. Ich habe die Frage leicht bearbeitet, um sie noch klarer zu machen. hoffe es stört dich nicht. Ich werde darüber nachdenken und sehen, was ich mir einfallen lassen kann.

Friedrich Brünner · Answer 2

Friedrich Brünner

Die Nützlichkeit der Wick-Rotation liegt in den Konvergenzeigenschaften des Pfadintegrals. Betrachtet man den Integranden des Pfadintegrals im Minkowski-Raum,

\int D ϕ e^{ich S_{M}},

$\int\mathcal{D}\phi\;e^{iS_M},$

Sie können sehen, dass es sich um eine oszillierende Funktion handelt. Das Integral einer oszillierenden Funktion kann im Allgemeinen als problematisch angesehen werden. Die Wick-Rotation, die einem Wechsel vom Minkowski- zum euklidischen Raum entspricht, ändert diesen Ausdruck in

\int D ϕ e^{- S_{E}} .

$\int\mathcal{D}\phi\;e^{-S_{E}}.$

Der Integrand ist jetzt eine exponentiell dämpfende Funktion, die sich im Vergleich zur ursprünglichen gut verhält. Dies ermöglicht es einem, viele Berechnungen durchzuführen, die andernfalls schwer durchzuführen wären. Weiterhin fällt auf, dass, wenn man diese neue „euklidische Zeit“ mit inverser Temperatur identifiziert, das Pfadintegral der Zustandssumme der statistischen Physik entspricht.

Adam

Danke, aber das ist nicht die Frage (das weiß ich schon alles). Meine Frage bezieht sich auf die Gültigkeit / Bedeutung der Wick-Rotation auf der Ebene des Pfadintegrals, insbesondere wenn sie diskretisiert ist.

Trimok

@Adam : Alle Pfadintegrale mit imaginärer Exponentialfunktion sind streng genommen mathematischer Unsinn, weil man die Konvergenz solcher Integrale nicht beweisen kann. Der strengste Weg besteht also darin, eine Wick-Rotation rechtzeitig durchzuführen und eine Pfadintegralrechnung (und Diskretisierung) damit durchzuführen

\int D ϕ e^{- S_{E}}

$\int\mathcal{D}\phi\;e^{-S_{E}}$ , Wo

S_{E}

$S_E$ ist die euklidische Aktion

S_{E} = \int d t H (t)

$S_E = \int dt H(t)$ (

t

$t$ Und

x

$x$ sind real). Erst am Ende des Kalküls führt man rechtzeitig eine inverse Wick-Rotation durch.

Adam

@Trimok: Das verstehe ich. Aber das ist hier nicht das Problem, ich mache Mathematik a la Physiker. Meine Frage ist: Wenn ich den Pfad finden möchte, der die Aktion minimiert, muss ich zur Annäherung an die stationäre Phase einen Pfad betrachten, der Wick-rotiert ist, da dies der dominante Pfad ist. Ich verstehe nicht, was es für die diskrete Version des Pfadintegrals bedeutet. Es scheint mir, dass es keine Möglichkeit gibt, es in der komplexen Ebene auszuwerten (

S ({x_{n}}) \to S ({z_{n}}))

$S(\{x_n\})\to S(\{z_n\}))$ und finden Sie an einem stationären Punkt, der wie die Wick-Rotationsaktion aussieht.

Trimok

@Adam: Die euklidische Aktion ist

S_{E} = \int d t H (t) = \int d t (\frac{m {\dot{x}}^{2}}{2} + V (x))

$S_E = \int dt H(t) = \int dt (\frac{m \dot x^2}{2} +V(x))$ . Hier

x

$x$ Und

t

$t$ sind echt . Die einzige Änderung in der Diskretisierung ist also die

+

$+$ Schild vor

V (x)

$V(x)$ (anstelle des Minuszeichens im Standardpfadintegral) und das allgemeine Minuszeichen vor der euklidischen Wirkung

\int D ϕ e^{- S_{E}}

$\int\mathcal{D}\phi\;e^{-S_{E}}$ (anstatt

i

$i$ für Standardwegintegral)

Adam

@Trimok: Ich glaube, du verstehst meine Frage nicht. Ich weiß, wie man die euklidische Aktion bekommt. Vielleicht können wir die Wick-Rotation und das euklidische Pfadintegral einfach vergessen. Was ich verstehen möchte, wie der "klassische Weg", der die Aktion minimiert, manchmal durch eine Funktion gegeben werden kann

q_{c} (i t)

$q_c(it)$ und nicht durch

z_{c} (t)

$z_c(t)$ Wo

z_{c}

$z_c$ kann komplex sein, aber sein Index

t

$t$ ist echt. Ein klassischer Weg zusammen mit variabel

i t

$it$ ist äquivalent zu einem diskretisierten Pfadintegral, wo die Transformation ist

x_{n} \to x_{i n}

$x_n\to x_{i n}$ was keinen Sinn zu machen scheint.

Trimok

@Adam: Eine Sache sind Quantenwegintegrale (Standard oder euklidisch), eine andere Sache ist die klassische Aktion. Ich denke, dass Sie die beiden Konzepte vermischen. Die klassische Aktion

S

$S$ , ist eine reelle Größe und ist ein Extremum (

δ S = 0

$\delta S=0$ ) für die klassischen Bewegungsgleichungen

x = x_{c} (t)

$x= x_c(t)$ , Wo

x

$x$ Und

t

$t$ sind real. Es gibt keine Vorstellung

t

$t$ Hier.

Adam

@Trimok: Weißt du, wie man Quantentunneln mit Pfadintegralen berechnet? Dann würdest du vielleicht verstehen, was ich meine. Ich werde meine Frage bearbeiten, um sie klarer zu machen.

Trimok

@Adam: Instantons sind eine klassische Lösung von Feldern für eine euklidische Welt. Das heißt: Sie nehmen die euklidische Aktion vor

S_{E}

$S_E$ (Also das Potenzial umkehren

V

$V$ ) und berechnen

e^{- S_{E}}

$e^{-S_E}$ (Wenn Sie es vorziehen, ist es der führende Begriff in

ℏ

$\hbar$ im euklidischen Pfadintegral when

ℏ \to 0

$\hbar \to 0$ ), und diese Berechnung entspricht einer Tunelling-Wahrscheinlichkeit in der Quantenmechanik.

Adam

Ja, ich weiß. Aber sie werden verwendet, um die Tunnelwahrscheinlichkeit in Echtzeit zu berechnen. Wir sollten also in der Lage sein, die Berechnung durchzuführen, ohne in imaginärer Zeit hin und her zu gehen.

Benutzer1504 · Answer 3

Andere haben bereits richtige Antworten gegeben, aber vielleicht kann ich helfen, Ihre Verwirrung zu beseitigen, indem ich mich auf den einfachsten Fall konzentriere, in dem Ihre Aktion frei ist und Ihre Diskretisierung nur einen Punkt hat.

In diesem Fall läuft die Wick-Rotation auf die Definition des Integrals hinaus $\int_{\mathbb{R}} e^{iax^2} dx$ Grenze sein $\lim_{\alpha \to -ia} F(\alpha)$ Wo $F(\alpha) = \int_{\mathbb{R}} e^{-\alpha x^2} dx$ .

Beachten Sie, dass es keine Änderung der Variablen im Integral gibt. Stattdessen haben Sie einen freien Parameter. Das Integral ist für reelle Werte dieses Parameters wohldefiniert, und Sie definieren das Integral bei komplexen Werten über analytische Fortsetzung.

Ja, das habe ich herausgefunden. Aber diese Art, die Berechnung für das Tunneln durchzuführen (wir wollen die Wahrscheinlichkeit in Echtzeit berechnen, also fahren wir analytisch mit der imaginären Zeit fort, führen die Berechnung durch und fahren dann wieder mit der Echtzeit fort) ist ziemlich kompliziert. Wir könnten versuchen, die Berechnung direkt in Echtzeit durchzuführen, suchen aber nach "klassischen Pfaden", die nicht auf der realen Achse liegen, sondern irgendwo in der komplexen Ebene. Und da verliere ich die Verbindung zur Wick-Rotation...

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Die Bedeutung der imaginären Zeit

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