Form der Schrödinger-Gleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte

Ist es möglich, die Schrödinger-Gleichung (SE) als Differentialgleichung zu formulieren, die nur die Wahrscheinlichkeitsdichte anstelle der Wellenfunktion enthält? Wenn nein, warum nicht?

Als Beispiel können wir die zeitunabhängige SE nehmen:

− ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ ( r ) + v ( r ) ψ ( r ) = E ψ ( r )

Jede Lösung ergibt eine Wahrscheinlichkeitsdichte p ( r ) = ψ ∗ ( r ) ψ ( r ) und die Frage, ob eine Gleichung davon gefunden werden kann p ist die Lösung, wenn ψ ist eine Lösung der SE.

Ich nehme an, nicht, da es allgemein bekannt gewesen wäre, aber ich habe die Argumente nicht gesehen, warum dies unmöglich wäre. Ich verstehe, dass die Wellenfunktion mehr Informationen enthält als die Wahrscheinlichkeitsdichte (z. B. die Phase von ψ was im QM relevant ist fällt aus p ), aber ich sehe das nicht als ausreichenden Grund gegen die Existenz einer solchen Gleichung.

Ich denke, wenn Sie aufschreiben möchten, wie sich die Wahrscheinlichkeitsdichte mit der Zeit ändert, erhalten Sie im Grunde die Kontinuitätsgleichung. Wie in der Antwort unten kommentiert, ρ gibt nicht alle Informationen über den Quantenzustand.
@Zheng Liu Ich mache mir keine Sorgen, nicht alle Informationen zu haben ψ wenn Sie es nicht brauchen, um Lösungen zu finden ρ . Aber trotzdem können Sie nach der Antwort von AFT die komplexe Phase von ausdrücken ψ in ρ obwohl es eine funktionale Form und umständlich ist. Alle Informationen im Quantenzustand sind also weiterhin auffindbar, wenn man es möchte.
Rechts. Es kann wiederhergestellt werden, wenn Sie die komplexe Phase kennen.

Antworten (3)

Nein, das kannst du nicht.

Die Funktion ψ ∈ C hat zwei echte Freiheitsgrade; Sie sind gekoppelt und dynamisch (ohne Spurweite). Andererseits die Funktion ρ ∈ R hat einen echten Freiheitsgrad. Es ist unmöglich, die Dynamik des Systems von zwei Variablen auf eine Variable zu reduzieren, ohne dabei Informationen zu verlieren.

(Aber im formalen Sinne: Ja, man kann)

Lassen ψ = ρ e ich S , mit ρ , S ein Paar reeller Variablen. Sie können die Schrödinger-Gleichung direkt in Form von schreiben ρ , S als (vgl. Madelung oder Bohm )

∂ ρ ∂ t = − 1 2 m ( ρ ∇ 2 S + 2 ∇ ρ ⋅ ∇ S ) ∂ S ∂ t = − ( | ∇ S | 2 2 m + v − ℏ 2 2 m ∇ 2 ρ ρ )

Wie Sie sehen können, können Sie keine Gleichung für schreiben ρ allein, weil seine Gleichung an eine zweite Unbekannte gekoppelt ist, S . Zwei echte Freiheitsgrade, nicht einer. Formal kann man die Gleichung lösen nach S als Funktion von ρ , und setze das Ergebnis in die Gleichung für ein ρ , wodurch man eine Gleichung für erhält ρ allein. Dies ist unpraktisch, da es nicht wirklich möglich ist, nach zu lösen S = S [ ρ ] allgemein gesagt, und selbst wenn wir könnten, wäre das Funktional hochgradig nichtlokal, also die resultierende Gleichung für ρ wäre unmöglich damit zu arbeiten. Die Schrödinger-Gleichung, geschrieben als ψ , auch wenn es kompliziert ist, ist so einfach wie es nur geht. Jede andere Umformulierung ist viel umständlicher zu verwenden.

Sollte die Antwort dann nicht lauten: „Ja, das können Sie, aber die Gleichung beinhaltet eine komplizierte Funktion von ρ und ist nicht praktisch zu verwenden". Tatsächlich scheint der zweite Teil Ihrer Antwort dem ersten Teil zu widersprechen, da Sie gezeigt haben, dass die Freiheitsgrade gekoppelt sind, wenn auch auf komplizierte Weise. Es ist interessant, dass die relative einfache Wahrscheinlichkeitsdichte von sagen ein 1s-Elektron in Wasserstoff ist eine Lösung dieser sehr langwierigen Gleichung.
Beachten Sie die Verbindung zur Quanten-Hamilton-Jacobi-Gleichung (die 2. Differentialgleichung im Paarsatz). Daran scheint einiges zu arbeiten, aber es scheint nicht einfach zu sein.
irgendwelche bücher dazu? Es ist mathematisch umständlicher, aber das gefällt mir konzeptionell viel besser.
@MikeFlynn Bohm hat selbst mehrere Bücher geschrieben, also solltest du sie dir unbedingt ansehen. Ich habe gehört, dass sie ziemlich gut sind (sogar von denen, die Bohms Interpretation nicht mögen).

Wir haben ψ ∗ ∇ 2 ψ = 2 m ℏ 2 ( v − E ) ρ also durch komplexe Konjugation ψ ∇ 2 ψ ∗ = 2 m ℏ 2 ( v − E ) ρ . Somit

∇ 2 ρ = ψ ∇ 2 ψ ∗ + ψ ∗ ∇ 2 ψ + 2 ∇ ψ ∗ ⋅ ∇ ψ = 4 m ℏ 2 ( v − E ) ρ + 2 ∇ ψ ∗ ⋅ ∇ ψ .
Es ist der letzte Begriff, der im Weg steht. Da sind mehr quantenmechanische Informationen drin ψ als in ρ , also können wir im Allgemeinen nicht alles in Bezug auf umschreiben ρ allein.

Sie können eine Gleichung für schreiben ρ und J (der Wahrscheinlichkeitsstrom) aber.
Mauricio Ja, aber j ist ψ -abhängig
Ja, aber wenn ich mich richtig erinnere, können Sie bestimmte Einführungsprobleme mit Streuung nur mit und ohne Kontinuitätsgleichung lösen ψ .
@Mauricio Wenn dir ein Beispiel einfällt, solltest du es wahrscheinlich hier in einer Antwort erwähnen, auch wenn es nur "ein langer Kommentar" ist.
Entschuldigung für die Verwirrung in vielen europäischen Schulen, die den Wahrscheinlichkeitsstrom verwenden, um Transmissions-/Reflexionskoeffizienten zu berechnen, dennoch benötigen diese Probleme immer noch die Schrödinger-Gleichung: cp3.irmp.ucl.ac.be/~maltoni/PHY1222/QM-IVa.pdf
Ihre Antwort beweist nicht, dass eine solche Gleichung nicht existiert. Es gibt nur ein Beispiel für eines, das nicht funktioniert. Gemäß meinem Kommentar unter meiner Frage als Antwort auf Zheng Liu bin ich auch nicht von Ihrer Aussage überzeugt, dass mehr Informationen darin enthalten sind ψ als in ρ . Man könnte wohl höchstens sagen, dass der Zustand an der Stelle steht x = x 1 enthält mehr Informationen als ρ am einzigen Punkt x = x 1 .
@JanBox Könnten Sie auf das Beispiel von Zheng Liu verlinken?
@JG Ich meinte meine Antwort auf seinen Kommentar zu meiner Frage. Sie finden es also oben.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist kein guter Vergleichspunkt, da sie absolut keine Informationen über die Impulseigenschaften des Zustands enthält.

Dies geht insofern noch ein wenig weiter, als der korrekte klassische Vergleichspunkt für jeden quantenmechanischen Formalismus nicht wirklich eine Newtonsche Perspektive mit einer einzigen Flugbahn ist; stattdessen ist es die Liouville-Mechanik der Phasenraumdichte ρ ( x , p ) eines Teilchens, das der klassischen Hamilton-Mechanik gehorcht, dessen Zustand aber nur bis auf eine Wahrscheinlichkeitsverteilung im Phasenraum bekannt ist und dessen Dichte dann der Liouville-Gleichung gehorcht

∂ ρ ∂ t = − { ρ , H } .

Sobald Sie das getan haben, gibt es ein Quantenanalog der Liouville-Gleichung, die in dieser Antwort von Qmechanic angegeben ist, wo Sie die Standardfunktionsmultiplikationen für a ändern müssen ℏ -abhängiges Moyal-Produkt ; die dynamische Gleichung lautet dann

d ρ d t = 1 ich ℏ [ ρ , ⋆ H ] .
Ich habe noch nie gesehen, dass dies in Wut verwendet wird, aber das könnte daran liegen, dass ich mir nie die Orte angesehen habe, an denen es verwendet wird.

Vielen Dank für Ihren Hinweis auf das Quantenanalog der Liouville-Gleichung. Es sieht aus wie etwas, wonach ich gesucht habe. Es muss sich auf die Gleichung in der Antwort von AccidentalFourierTransform beziehen. Über Ihren 1. Absatz mache ich mir keine Sorgen. Auf einer höheren Ebene habe ich mich gefragt, ob QM durchgeführt werden kann, ohne über Zustände zu sprechen. Nehmen wir an, Sie nehmen alle Wahrscheinlichkeitsdichten ρ n l m des Wasserstoffatoms muss es eine Möglichkeit geben, eine Verbindung herzustellen m auf den Drehimpuls ohne Bezug auf Zustände, aber das könnte eine andere Frage sein.
Form der Schrödinger-Gleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte
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