Normalisierbare freie Teilchenwelle auf 1D

Ich versuche, eine nicht-relativistische Schrödinger-Gleichung für freie 1D-Partikel mit anfänglicher Wellenfunktion zu lösen ψ ( X , 0 ) = δ ( X ) , Wo

δ ( X ) = lim A → 0 ( A / 2 ) | X | ( A − 1 ) .

Hier ist mein Ansatz:

Satz

ich ℏ ∂ ∂ T Ψ ( X , T ) = E Ψ ( X , T ) = − ℏ 2 2 M ∂ 2 ∂ X 2 Ψ ( X , T ) .

Die allgemeinen Lösungen sehen so aus:

Ψ = A e A e B

Weil das Zeichen der reellen Zahl E beliebig definiert werden könnte, wähle ich E < 0 um die Lösung normalisierbar zu machen.

Ψ ( X , T ) = A e − k X + ich ω T

Ψ ∗ Ψ ≡ δ ( X )

Habe ich recht?

Wie bekomme ich die sinnvolle Lösung, die die Entwicklung der Dichtefunktion eines freien Teilchens darstellt, auf R ? (wie das GIF-Video in https://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle )

Ein zweiter Ansatz ist zu prüfen E > 0 und setzen Sie Randbedingungen wie ein Partikel in einer "sehr großen" 1-D-Box. Könntest du mir bitte dabei helfen?

Aus der obersten Antwort von Jan habe ich drei Möglichkeiten gelernt, mit nicht normalisierbaren Wellenfunktionen umzugehen.

Normalisierung der Lösung der Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen

Eine davon war "Nur normalisierbare Funktionen zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit verwenden"

Der Lösungsprozess wurde von http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/Scheq.html#c2 gelernt

Entschuldigung falls die Frage schon gestellt wurde.

Antworten (1)

... scheint mir hier mehrere Probleme zu geben.

  1. ψ ( X ) = δ ( X ) keine Eigenfunktion des Hamilton-Operators ist, daher ist die Suche nach einer Lösung für die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung nicht sinnvoll. Die Lösung mit Ihrer Anfangsbedingung wird eine Überlagerung von ebenen Wellen sein, da ebene Wellen Eigenfunktionen des Problems freier Teilchen sind.
  2. Wenn Ψ ( X , T ) = A e − ich ( ω T − k X ) , Die Ψ ( X , T ) ∗ Ψ ( X , T ) = | A | 2 , nicht δ ( X ) . Außerdem Ihre Ψ ( X , T ) ist eine ebene Welle und daher sicherlich nicht an einem Punkt für irgendeinen Wert konzentriert X .
  3. Als nächstes, wenn Sie nach einem freien Teilchen auflösen, dann E sollte nicht negativ sein, da die kinetische Energie nicht negativ ist.

Da die freien Teilchenlösungen von der Form sind e ich k X bei T = 0 , Warum nicht versuchen

ψ ( X ) = ∫ − ∞ ∞ D k ϕ ( k ) e ich k X
dh finden ψ ( X ) als Wellenpaket und suche nach einer Funktion ϕ ( k ) so dass ψ ( X ) = δ ( X ) ? Vielleicht möchten Sie sich daran erinnern
δ ( X − X 0 ) = ⟨ X | X 0 ⟩ = ∫ − ∞ ∞ D k ⟨ X | k ⟩ ⟨ k | X 0 ⟩ , = ∫ − ∞ ∞ D k 1 2 π e ich k ( X − X 0 ) .

Normalisierbare freie Teilchenwelle auf 1D
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