Delta-Funktions-Eigenzustand für Nicht-Null-Potential

Betrachten Sie das Potenzial$V(x)=\frac{2}{x^2}$und lass$\frac{\hbar^2}{2m}=1$zur Bequemlichkeit. Betrachten Sie nun die Funktion$\psi(x)=\delta(x)$. Gemäß Griffiths (Elektrodynamikbuch) Problem 1.45 (a),

$$x\delta'(x)=-\delta(x)\tag{1}.$$ Ich bin mir nicht sicher, ob ich das tun kann, aber wenn ich schreibe

$$\delta'(x)=-\frac{\delta(x)}{x},\tag{2}$$

$$\frac{d^2}{dx^2}\psi(x)=-\frac{d}{dx}\left[\frac{\delta(x)}{x}\right]=\frac{2\delta(x)}{x^2}.\tag{3}$$

Die Schrödinger-Gleichung sieht jetzt so aus

$$\begin{align} &-\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)=E \psi(x)\tag{4}\\ &-\frac{2\delta(x)}{x^2}+\frac{2}{x^2}\delta(x)=0 \delta(x).\tag{5} \end{align}$$

So sieht es aus$\delta(x)$ist ein Eigenzustand mit Eigenwert Null. Aber das widerspricht meiner Intuition und ist wahrscheinlich falsch, aber ich bin mir nicht sicher, wo der Fehler liegt. Ist es die Ableitung der Delta-Funktion? Kann Energie (Eigenwert des Hamilton-Operators) Null sein? Das Potenzial liegt bei maximal$0$, also wie kann die Wahrscheinlichkeit maximal sein bei$0$?