Imaginäres Potential und stationäre Wellenfunktion

Wenn das externe Potenzial$V$in der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung nicht von der Zeit abhängt, dann können wir die Wellenfunktion in Raumteil und Zeitteil trennen.

$$\Psi(x,t)=\psi(x) \theta(t)$$

$\psi(x)$ist die Lösung der bekannten zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung und$\theta(t) = e^{-Et/\hbar}$. Dann ist die Wahrscheinlichkeitsdichte zeitunabhängig oder stationär:

$$\rho=|\Psi(x,t)|^{2} = |\psi(x)|^{2}$$

Daher,$\frac{d}{dt} \int \rho d \tau =0$.

Führen Sie jedoch ein imaginäres Potential ein$V(\vec{x})=V_{1}(\vec{x})+i V_{2}(\vec{x})$, Wo$V_{1}$Und$V_{2}$sind echte Funktion.

Dann ist die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

$$i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec{x},t)= -\frac{\hbar^{2}}{2m} \nabla^{2} \Psi(\vec{x},t)+ \left\{V_{1}(\vec{x})+i V_{2}(\vec{x}) \right\}\Psi(x,t)$$

Lassen Sie uns rechnen$\frac{d}{dt} \int \rho d \tau$anfangs.

$$\begin{align*} \frac{d}{dt} \int \rho d \tau &= \frac{d}{dt} \int \Psi^{\ast}\Psi d \tau = \int \frac{\partial}{\partial t}(\Psi^{\ast} \Psi)d \tau \\ &=\int \left (\Psi^{\ast} \frac{\partial}{\partial t} \Psi + \Psi \frac{\partial}{\partial t} \Psi^{\ast} \right)d \tau\\ &= \int \frac{1}{2} \mathrm{Re} \left(\Psi^{\ast} \frac{\partial}{\partial t}\Psi \right) d \tau \end{align*}$$

Aus der gegebenen Schrödinger-Gleichung

$$\frac{1}{2} \mathrm{Re} \left(\Psi^{\ast} \frac{\partial}{\partial t} \Psi \right) =\frac{V_{2}(\vec{x})}{2 \hbar} \Psi^{\ast}\Psi$$

Daher,

$$\frac{d}{dt} \int \rho d \tau = \frac{V_{2}(\vec{x})}{2 \hbar} \neq 0$$

$V_{2}$ist im Allgemeinen nicht Null, was bedeutet, dass die Dichte nicht stationär ist.

Dies würde gegen die Aussage verstoßen, dass die Wellenfunktion stationär ist, wenn das äußere Potential nicht von der Zeit abhängt.

Es ist kein Problem, wenn das Potenzial real ist, aber ich denke, imaginäres Potenzial hat eine Art physikalische Bedeutung. Wie kann ich darüber nachdenken?