Scheinbarer Widerspruch zwischen Quantenrechnungen und Intuition zur Reflexion bei Stufenpotential?

Question

Scheinbarer Widerspruch zwischen Quantenrechnungen und Intuition zur Reflexion bei Stufenpotential?

Leute

Ich bin ziemlich verwirrt, weil es scheint, dass die mathematischen Schlussfolgerungen, die ich hier gezogen habe, meiner physikalischen Intuition widersprechen, obwohl beide zunächst nicht allzu zuverlässig sind.

Wir haben einen möglichen Schritt, der von beschrieben wird

v (X) = {\begin{cases} 0 & X \leq 0 \\ v_{0} & X > 0 \end{cases}

$V(x)=\begin{cases}0& x\le0\\V_0 & x>0\end{cases}$

und eine Wellenfunktion $\psi(x)$ das erfüllt die Gleichung

\frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} ψ (X) + v (X) ψ (X) = E ψ (X) .

${\hbar^2\over 2m}{\partial^2 \over \partial x^2}\psi(x)+V(x)\psi(x)=E\psi(x).$

Ich möchte die Reflexionswahrscheinlichkeit finden. Durch Kontinuitätsbeschränkungen bei $x=0$ Ich bin beim Reflexionsamplitudenwesen angekommen

R = \frac{k - Q}{k + Q},

$R={k-q\over k+q},$ Wo

k = \sqrt{\frac{2 m E}{ℏ^{2}}}

$k=\sqrt{2mE\over \hbar^2}$ Und

q = \sqrt{\frac{2 m (E - V_{0})}{ℏ^{2}}}

$q=\sqrt{2m(E-V_0)\over \hbar^2}$ dann lassen wir

V_{0} \to - \infty

$V_0\to -\infty$ geben

q \to \infty

$q\to \infty$ , So

R \to - 1

$R\to -1$

$\implies |R|^2\to 1.$

Aber das hätte ich vermutet $|R|^2$ sollte am Limit verschwinden, damit die einfallende Welle total durchgelassen wird!

Könnte jemand bitte erklären?

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Scheinbarer Widerspruch zwischen Quantenrechnungen und Intuition zur Reflexion bei Stufenpotential?

QMechaniker · Answer 1

Denken Sie daran, wenn wir eine einfallende Welle haben

\frac{1}{\sqrt{k_{1}}} e^{ich k_{1} X}

$\frac{1}{\sqrt{k_1}}e^{ik_1 x}$

von links (Bereich 1, $x<0$ , mit konstantem Potenzial $V_1$ ), die teilweise übertragen wird

\frac{T}{\sqrt{k_{2}}} e^{ich k_{2} X}

$\frac{T}{\sqrt{k_2}}e^{ik_2 x}$

rechts (Bereich 2, $x>0$ , mit konstantem Potenzial $V_2$ ) und teilweise in Region 1 zurückreflektiert,

\frac{R}{\sqrt{k_{1}}} e^{- ich k_{1} X}

$\frac{R}{\sqrt{k_1}}e^{-ik_1 x}$

dann ist der Reflexionskoeffizient bekannt

R = \frac{k_{1} - k_{2}}{k_{1} + k_{2}},

$R~=~ \frac{k_1-k_2}{k_1+k_2},$

Wo

k_{ich} := \frac{\sqrt{2 M (E - v_{ich})}}{ℏ} .

$k_i ~:=~\frac{\sqrt{2m(E-V_i)}}{\hbar}.$

Die OP-Frage hängt damit zusammen, dass die Reflexionswahrscheinlichkeit $|R|^2$ ist invariant unter Permutation $V_1\leftrightarrow V_2$ . Grob gesagt, quantenmechanisch die Reflexionswahrscheinlichkeit $|R|^2$ egal ob die einfallende Welle auf eine potentielle Barriere/Wand oder einen potentiellen Abgrund/Brunnen trifft!

Intuitiv hätte man wahrscheinlich vermutet, dass die Welle tendenziell in die Region mit dem geringsten Potenzial geht $V_i$ . Klassischerweise liegt dies daran, dass man die Impulserhaltung der Welle vergisst und der Welle implizit erlaubt, Impuls abzugeben / zu absorbieren $x=0$ zur/von der Umwelt. Quantenmechanisch wird die Impulserhaltung durch die Forderung umgesetzt, dass die linke und rechte Ableitung der Wellenfunktion an $x=0$ sollte gleich sein. Impulserhaltung impliziert, dass, wenn die Welle auf eine potenzielle Stufe (entweder nach oben oder unten) trifft, immer ein Bruchteil der Welle reflektiert werden muss, um den Impuls zu erhalten.

Scheinbarer Widerspruch zwischen Quantenrechnungen und Intuition zur Reflexion bei Stufenpotential?

Leute

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QMechaniker

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