Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen zwischen zwei Barrieren zu finden?

Gegeben eine Delta-Funktion a δ ( X + A ) und eine unendliche Energiepotentialbarriere bei [ 0 , ∞ ) , den gestreuten Zustand berechnen, die Reflexionswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von berechnen a , Impuls des Pakets und Energie. Berechnen Sie auch die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zwischen den beiden Barrieren zu finden.

Ich beginne damit, die Standardgleichungen für die Wellenfunktion aufzustellen:

ψ ICH = A e ich k X + B e − ich k X Wenn  X < − A , ψ ICH ICH = C e ich k X + D e − ich k X Wenn  − A < X < 0

Die Forderung nach Kontinuität bei X = − A bedeutet

A e − ich k A + B e ich k A = C e − ich k A + D e ich k A

Dann die Forderung nach gezielter Diskontinuität des Derivats bei X = − A gibt

ich k ( − C e − ich k A + D e ich k A + A e − ich k A − B e ich k A ) = − 2 M a ℏ 2 ( A e − ich k A + B e ich k A )

An dieser Stelle setze ich A = 1 (für ein einzelnes Wellenpaket) und einstellen D = 0 um Reflexions- und Transmissionswahrscheinlichkeiten zu berechnen. Nach viel Algebra komme ich zu

B = γ e − ich k A − γ e ich k A − 2 ich k e ich k A C = 2 e − ich k A γ e − ich k A − 2 ich k e − ich k A

(Wo γ = − 2 M a ℏ 2 ) und so Reflexion prob. R = γ 2 γ 2 + 4 und Übertragungsprob. T = 4 γ 2 + 4 .

Hier stoße ich auf die Schwierigkeit, die Wahrscheinlichkeit herauszufinden, das Teilchen zwischen den beiden Barrieren zu finden. Da die Sperre bei 0 unendlich ist, könnte das einzige Leck bei über der Delta-Funktionsbarriere liegen − A . Möchte ich die bisherigen Bedingungen aber diesmal einstellen A = 1 Und C = D aufgrund der Totalreflexion der Barriere an 0 und dann rechnen D ∗ D ?

Hallo Hippie_Eater und willkommen bei Physics Stack Exchange! Ausgezeichnete Frage :-) Ich hoffe, es macht Ihnen nichts aus, dass ich einige der Gleichungen im Anzeigestil gestaltet habe, um die Lesbarkeit zu verbessern.
Danke, das ist viel besser - ich poliere immer noch mein TeK-Fu, also hoffe ich, dass es in Zukunft so sexy aussehen wird.

Antworten (2)

Hinweise zur Frage(v5):

  1. OP erlegt aufgrund des Delta-Funktionspotentials bei korrekterweise zwei Bedingungen auf X = − A , aber OP sollte auch die Randbedingung auferlegen ψ ( X = 0 ) = 0 wegen der unendlichen Potentialbarriere bei X ≥ 0 .

  2. Aufgrund der unendlichen Potentialbarriere bei ist die Übertragungswahrscheinlichkeit Null X ≥ 0 . (Denken Sie daran, dass eine Übertragung implizieren würde, dass das Teilchen gefunden werden könnte X → ∞ , was unmöglich ist.)

  3. Daher besteht eine 100-prozentige Reflexionswahrscheinlichkeit, vgl. die Einheitlichkeit der S -Matrix. Siehe auch diese Phys.SE-Antwort.

  4. Wie OP schreibt, hat man abseits der beiden Hindernisse einfach eine freie Lösung für die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung, nämlich eine Linearkombination der beiden oszillierenden Exponentiale e ± ich k X . Diese Lösung ist über ein nicht kompaktes Intervall nicht normalisierbar X ∈ ] − ∞ , 0 ] .

  5. Um die Wellenfunktion normierbar zu machen, lassen Sie uns das Leerzeichen für abschneiden X < − K , Wo K > 0 ist eine sehr große Konstante. Also jetzt X ∈ [ − K , 0 ] . Man kann dann die Wahrscheinlichkeit definieren und berechnen P ( − A ≤ X ≤ 0 ) das Teilchen zwischen den beiden Barrieren über die übliche probabilistische Interpretation des Quadrats der Wellenfunktion zu finden.

  6. Lassen wir nun den Trunkierungsparameter K → ∞ , dann können wir ohne Berechnung ableiten, dass diese Wahrscheinlichkeit P ( − A ≤ X ≤ 0 ) → 0 geht auf null.

Ich habe die Antwort aktualisiert.

Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in einem Intervall zu finden A < X < B ist durch das Integral gegeben

∫ A B ψ ∗ ψ D X ,
vorausgesetzt, dass Ihre Wellenfunktion richtig normalisiert ist.

In Ihrem Fall sollten Sie also rechnen

∫ − A 0 ψ ICH ICH ∗ ψ ICH ICH D X ∫ − ∞ − A ψ ICH ∗ ψ ICH D X + ∫ − A 0 ψ ICH ICH ∗ ψ ICH ICH D X .

Der Zähler ist die Region, die Sie interessiert, der Nenner sorgt für die Normalisierung, sodass die Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 herauskommt. Ich überlasse es Ihnen, die Integrale zu berechnen.

Danke, ich neige dazu, Dinge zu verkomplizieren. Aber das wirft die Frage auf, unter welchen Bedingungen ich das herausfinden soll A , B , C , D ? Vermutlich wäre es der Standard zwei bezüglich der Kontinuität in von ψ In − A und Diskontinuität von ψ ' In − A aber ich denke, ich brauche mehr als das? Gehe ich richtig in der Annahme, dass die Barriere bei 0 spiegelt vollständig und somit C = D ?
OK, Sie haben also vier Unbekannte ( A , B , C , D ). Sie haben bereits zwei Bedingungen, Sie brauchen noch zwei weitere. Wie #Qmechanic feststellt, sollte eine der Bedingungen sein ψ ( 0 ) = 0 . Der andere kann aus der Normalisierung ( ∫ − ∞ 0 ψ ∗ ψ D X = 1 ).
Beachten Sie, dass die Streuwellenfunktion ψ ( X ) ist nicht normalisierbar.
Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen zwischen zwei Barrieren zu finden?
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