Identische Teilchen in der Quantenmechanik

Betrachten wir zunächst den Fall unterscheidbarer Teilchen: Um ein System aus zwei unterscheidbaren Teilchen zu untersuchen, müssen Sie den Hilbert-Raum betrachten$\mathscr{H} \equiv \mathscr{H}_1 \otimes \mathscr{H}_2$, Wo$\mathscr{H}_1$ist der Hilbert-Raum von Teilchen eins und$\mathscr{H}_2$der Hilbert-Raum von Teilchen zwei. Ein generischer Zustand$|\psi\rangle \in \mathscr{H}$kann wie folgt erweitert werden:

$$|\psi\rangle = \sum\limits_{ij} c_{ij}\, |i\rangle\otimes |j\rangle \quad ,$$

Wo$\{|i\rangle\}_i$Und$\{|j\rangle\}_j$sind vollständige orthonormale Basen in$\mathscr{H}_1$Und$\mathscr{H}_2$, bzw. Die entsprechende Ortsraumdarstellung lautet dann

$$\left(\langle x_1| \otimes \langle x_2 |\right) |\psi\rangle \equiv \psi(x_1,x_2) = \sum\limits_{ij} c_{ij}\, \left(\langle x_1| \otimes \langle x_2 |\right)|i\rangle\otimes |j\rangle \equiv\sum\limits_{ij} c_{ij} \,\phi_i(x_1)\, \varphi_j(x_2) \quad ,$$ mit$\langle x|i\rangle \equiv \phi_i(x)$Und$\langle x|j\rangle \equiv \varphi_j(x)$.

Wie Sie sehen, brauchen Sie eigentlich zwei Positionsindizes,$x_1$Und$x_2$, um die Wellenfunktion des zusammengesetzten Systems zu schreiben. Dies ist notwendig, damit der mathematische Formalismus Sinn macht: Um alle Erwartungswerte richtig berechnen zu können, benötigen wir Informationen zu beiden Teilchen, nicht nur zu einem.

Zu Ihrer zweiten Frage: Im Ein-Teilchen-Fall interpretieren wir (vorausgesetzt, die Wellenfunktion ist normiert)$|\Psi(x)|^2 \mathrm{d} x$als die Wahrscheinlichkeit, dass Sie das Teilchen im Volumenelement finden$\mathrm{d}x$um$x$. In ähnlicher Weise haben wir das im Zwei-Teilchen-Fall$|\psi(x_1,x_2)|^2 \mathrm{d}x_1\, \mathrm{d}x_2$entspricht der Wahrscheinlichkeit, Teilchen eins darin zu finden$\mathrm{d}x_1$um$x_1$und Partikel zwei in$\mathrm{d}x_2$um$x_2$.

Die ganze Diskussion drehte sich um unterscheidbare Teilchen. Im Fall von zwei nicht unterscheidbaren Teilchen müssen Sie die antisymmetrisierten und symmetrisierten Unterräume von berücksichtigen$\mathscr{H} \equiv \mathscr{H}_1 \otimes \mathscr{H}_1$: Für den fermionischen Zwei-Teilchen-Fall, den Sie benötigen$\mathscr{H}_{\mathrm{F}} \equiv \mathscr{H}_1 \wedge \mathscr{H}_1$, während die beiden Bosonen Hilbertraum sind$\mathscr{H}_{\mathrm{B}} \equiv \mathscr{H}_1 \vee\mathscr{H}_1$. In diesen Fällen benötigen Sie immer noch zwei Positionsbeschriftungen für jeweils ein Partikel. Im Gegensatz zum unterscheidbaren Zwei-Teilchen-Fall haben wir das jedoch$|\psi_{\mathrm{F}/\mathrm{B}}(x_1,x_2)|^2 = |\psi_{\mathrm{F}/\mathrm{B}}(x_2,x_1)|^2$, was aus den Symmetrieeigenschaften der Wellenfunktion für (zwei) identische Teilchen folgt. Dies führt dazu, dass die Wahrscheinlichkeit, eines der beiden Teilchen zu finden, bei$x_1$und die andere bei$x_2 \neq x_1$wird von gegeben

$$2!\, |\psi_{\mathrm{F/B}}(x_1,x_2)|^2\mathrm d x_1\,\mathrm dx_2 \quad .$$

Beachten Sie, dass es keinen Sinn mehr macht, von Partikel eins und Partikel zwei zu sprechen, wie im Fall von unterscheidbaren Partikeln.

Ich hätte gedacht, dass die Wellenfunktion (sogar für ein Zwei-Teilchen-System) nur einen Wert für jeden Punkt im Raum und in der Zeit haben würde und so wäre es nur:$Ψ(\mathbf{r},t)$

Für ein Zwei-Teilchen-System in einer Dimension benötigen Sie$2$Koordinate (Zeit für eine Sekunde ausschließen), wobei eine die Koordinate für ein Partikel und die andere für ein anderes Partikel angibt. Sie können es in Bezug auf den Freiheitsgrad verstehen.

Beachten Sie, dass wir durch die Wellenfunktion nicht die genaue Position von Teilchen angeben, sondern nur die Wahrscheinlichkeit, dass sie sich an einem bestimmten Punkt (oder eher in einem bestimmten Intervall) befinden.

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Grundlagen

Für ein System mit zwei Teilchen in einer Dimension (wir können dies weiter auf mehr Dimensionen verallgemeinern) können wir die Kets definieren

$$|x_1\rangle\otimes |x_2\rangle \longleftrightarrow \begin{cases} \text{particle 1 at} \ x_1\\ \text{particle 2 at} \ x_2 \end{cases}$$ Die Wellenfunktion für Zwei-Teilchen kann dann geschrieben werden als $$|\psi\rangle =\sum_{\omega_1}\sum_{\omega_2}C_{\omega_1,\omega_2}|\omega_1\rangle \otimes |\omega_2\rangle$$ Wo$|\omega_1\rangle$Und$|\omega_2\rangle$sind Eigenkets des Operators$\Omega_1^{(1)}$Und$\Omega_2^{(2)}$(ein Operator auf$\mathcal{V}_1$Und$\mathcal{V}_2$).

Auf Positionsbasis würde dies werden

$$\psi(x_1,x_2)=\sum_{\omega_1,\omega_2}C_{\omega_1,\omega_2}\omega_1(x_1)\omega_2(x_2)$$

Ich beantworte Ihre Fragen in umgekehrter Reihenfolge.

Ich nehme an, ich habe sogar ein Problem mit "den Koordinaten von Teilchen eins" - impliziert das nicht, dass wir die genaue Position der Teilchen kennen, wenn wir versuchen, ihre Wellenfunktion zu finden, die notwendigerweise ausgebreitet ist.

Denken Sie nur an einen Ein-Partikel-Fall. Wir können über „die Koordinate des Teilchens“ sprechen$x$' und die Wellenfunktion$\Psi(x)$ist eine komplexwertige Funktion dieser Koordinate. Die Koordinate ist nur eine Bezeichnung für mögliche Positionen – sie impliziert nicht, dass wir wissen, dass sich das Teilchen an einer bestimmten Position befindet, da$\Psi(x)$muss keine Delta-Funktion sein.

Ich habe ein wenig Probleme damit. Ich hätte gedacht, dass die Wellenfunktion (selbst für ein Zwei-Teilchen-System) nur einen Wert für jeden Punkt im Raum und in der Zeit hätte und daher nur wäre: Ψ(𝑟,𝑡)

Dies ist in der Tat ein subtiler Punkt, und dies ist wirklich einer der Schlüsselpunkte im Herzen der Quantenmechanik.

Wenn Sie zum ersten Mal in die Quantenmechanik eingeführt werden, neigen Sie dazu, sich die Wellenfunktion als „wie“ das elektrische Feld vorzustellen, aber anstelle eines Vektors an jedem Punkt im Raum haben Sie eine komplexe Zahl. Dann könnten Sie denken, dass die natürliche Verallgemeinerung von zwei Teilchen darin besteht, zwei Felder zu haben. Zum Beispiel könnten Sie sich analog vorstellen, zwei Felder wie elektrische und magnetische Felder zu haben, und so haben Sie zwei Vektoren an jedem Punkt im Raum.

Tatsächlich ist dies bei weitem nicht die richtige Verallgemeinerung. Eine bessere Analogie für die Quantenmechanik ist die Wahrscheinlichkeitstheorie. Nehmen wir an, ich möchte wissen, wie wahrscheinlich es am Montag und Dienstag regnet. Sie könnten sagen: „Nun, am Montag besteht eine 10-prozentige Regenwahrscheinlichkeit und am Dienstag eine 10-prozentige Regenwahrscheinlichkeit, und ich multipliziere sie miteinander.“ Aber das ist kein gutes Modell, weil diese Ereignisse korrelieren . Wenn es am Montag regnet, besteht eine höhere Wahrscheinlichkeit, dass es am Dienstag regnet.

In der Quantenmechanik müssen wir jedem Zustand des Systems eine komplexe Zahl ( Wahrscheinlichkeitsamplitude genannt) zuordnen . Für zwei Teilchen wäre ein Zustand des Systems „Teilchen 1 ist am Ort$x_1$und Teilchen 2 ist an Position$x_2$." Wir können die diesem Zustand zugeordnete komplexe Zahl schreiben als$\Psi(x_1,x_2)$. Sie könnten dann in Analogie zur elektrischen/magnetischen Feldsituation denken, dass Sie diese komplexe Zahl in eine komplexe Zahl für Teilchen 1 und eine für Teilchen 2 zerlegen könnten:$\Psi(x_1,x_2)=\Psi_1(x_1)\Psi_2(x_2)$. Im Allgemeinen ist das falsch, weil wir den Fall berücksichtigen wollen, dass die Position von Teilchen 1 mit der Position von Teilchen 2 korreliert. Daher sollten wir wirklich an die Zwei-Teilchen-Wellenfunktion denken, wenn wir in einem Raum leben, der 6-dimensional ist, 3-dimensional für Teilchen 1 und 3-dimensional für Teilchen 2.

Allerdings gibt es bestimmte Situationen, in denen es in Ordnung ist, sich die Partikel 1 und 2 als nicht korreliert vorzustellen, in diesem Fall ist es in Ordnung, sie zu zerlegen$\Psi(x_1,x_2)=\Psi_1(x_1)\Psi_2(x_2)$. Dies gilt auch in der Wahrscheinlichkeitstheorie – wenn wir zwei Würfel haben und wissen wollen, mit welcher Wahrscheinlichkeit beide eine 6 sind, dann können wir tatsächlich die Wahrscheinlichkeit multiplizieren, dass Würfel 1 eine 6 und Würfel 2 eine 6 ergibt , da es sich um zwei unabhängige Ereignisse handelt. Es stimmt jedoch nicht im Allgemeinen.

Was es wert ist, ich persönlich habe das Gefühl, dass dieses Thema verwirrender wird, weil es gelehrt wird, was oft darin besteht, das Thema mit zwei Teilchenproblemen einzuführen, bei denen die Teilchen nicht korreliert sind und die Wellenfunktionen für jedes Teilchen getrennt werden können. Wie ich zu betonen versucht habe, ist dies nur ein Spezialfall, und wenn Sie nicht aufpassen, können Sie eine falsche Vorstellung davon bekommen, wie man die Quantenmechanik von 1 auf 2 Teilchen verallgemeinert.

@JacobDie perfekte Antwort von ist schwer zu verbessern. Ich werde nur versuchen, explizit auf einen Punkt der Verwirrung einzugehen, auf den Sie in Ihrer Frage anspielen.

Wenn wir davon sprechen$\psi(x_1)$, das bedeutet es nicht$x_1$ist die Position des Teilchens$1$. Das bedeutet es$\psi(x_1)$ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude, Teilchen zu finden$1$an einer Stelle$x_1$. Da es zwei Teilchen gibt, gibt es zwei Positionen, die Sie gleichzeitig messen können, und somit$\psi(x_1)$ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude dieses Teilchens$1$findet sich bei$x_1$Und$\phi(x_2)$ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude dieses Teilchens$2$findet sich bei$x_2$.

Mit anderen Worten, stellen wir uns vor, Sie wüssten nicht einmal, dass Sie zwei Teilchen haben, was Sie immer noch finden würden, wenn Sie hinausgehen und das Experiment durchführen, ist, dass es zwei Positionen gibt, die Sie gleichzeitig messen können – also wir müssen diese beiden Wahrscheinlichkeitsamplituden beschreiben. Genauso wie wenn wir eine Position zu messen haben und von der wir sprechen$\psi(x)$, meinen wir nicht, dass sich das Teilchen an einer bestimmten Position befindet$x$wir meinen vielmehr, dass wir von der Wahrscheinlichkeitsamplitude sprechen, bei der das Teilchen gefunden wird$x$bei der Messung können wir in ähnlicher Weise davon sprechen, wenn wir zwei Positionen haben$\psi(x_1)$Und$\phi(x_2)$.

Wie @Jacobdie Antwort von mathematisch detailliert erklärt, wäre die vollständige Wellenfunktion des Systems entweder ein fermionisches / bosonisches Produkt von$\psi(x_1)$Und$\phi(x_2)$für identische Teilchen und es wäre ein einfaches äußeres Produkt für unterscheidbare Teilchen. Intuitiv kann für unterscheidbare Teilchen die vollständige Wellenfunktion einfach sein$\psi(x_1)\phi(x_2)$(ganz grob, so wie sich die Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse vervielfachen). Für nicht unterscheidbare Teilchen müssen Sie sicherstellen, dass die Wellenfunktion invariant (bis zu einer Gesamtphase) ist, wenn Sie die beiden Teilchen (beliebig oft) austauschen - dies führt zu zwei Optionen, der symmetrischen / antisymmetrischen$\psi(x_1)\phi(x_2)\pm\psi(x_2)\phi(x_1)$.

Ich hätte gedacht, dass die Wellenfunktion (sogar für ein Zwei-Teilchen-System) nur einen Wert für jeden Punkt im Raum und in der Zeit haben würde und so wäre es nur:$\Psi(r,t)$.

Nun, so funktioniert die Schrödinger-Gleichung für Systeme mit vielen Teilchen nicht. Es ist schwer vorstellbar, wie es funktionieren könnte - was würde der Hamiltonian verwenden, um zwei, drei oder mehr Elektronen zu interagieren, die sich nur auf einen einzelnen Positionsvektor beziehen$\mathbf r$Sei? Wir brauchen mehr Vektoren, um die Konfiguration und Wechselwirkung von Vielteilchensystemen zu beschreiben. Die übliche Art, die Wechselwirkung von Elektronen zu beschreiben, sind kolumbianische Begriffe

$$\frac{Kq_iq_k}{|\mathbf r_i-\mathbf r_k|}$$ wobei wir natürlich andere Koordinaten brauchen$\mathbf r_i$ $\mathbf r_k$. Wenn sie gleich wären, wären die Wechselwirkungsterme immer unendlich und bedeutungslos.

Man kann mit der Verwendung eines einzelnen Vektors davonkommen$\mathbf r$zur Beschreibung einzelner Elektronenatome, weil der Kern fixiert werden kann, aber mit$n$Elektronen, wir brauchen$n$Positionsvektoren.

Ich nehme an, ich habe sogar ein Problem mit "den Koordinaten von Teilchen eins" - impliziert das nicht, dass wir die genaue Position der Teilchen kennen, wenn wir versuchen, ihre Wellenfunktion zu finden, die notwendigerweise ausgebreitet ist.

Nein, tut es nicht. Es ist nur eine Koordinate im Konfigurationsraum, wir kennen ihren "Wert" nicht. Es ist nur eine mathematische Variable, die uns hilft, Berechnungen der erwarteten Mittelwerte verschiedener Größen (einschließlich der Koordinaten) durchzuführen. Aber es ist nicht notwendig, die Teilchen zu kennen oder zu unterscheiden, um die Koordinaten und die Regeln der Quantentheorie zu verwenden.