Wie kann man Permutationen von Teilchen in der Quantenmechanik verstehen?

Ich studiere identische Teilchen in der Quantenmechanik und es fällt mir schwer, die Idee der Permutationen von Teilchen aus mathematischer Sicht zu verstehen.

Von einem intuitiven Standpunkt aus ist es ganz einfach: Wir haben zwei identische Teilchen und bezeichnen sie willkürlich als$1,2$. Das Permutieren der Partikel bedeutet das Permutieren der Markierungen, so dass die Partikel einmal markiert sind$1$ist jetzt$2$und das Partikel einmal markiert$2$ist jetzt$1$.

Nun, mathematisch sind die Dinge komplizierter. Wenn die Beschreibung jedes Teilchens allein durch den Zustandsraum gegeben ist$\mathcal{E}$, so scheint es zunächst, dass für das Zwei-Teilchen-System der Zustandsraum sein sollte$\mathcal{E}\otimes \mathcal{E}$.

Ich weiß, dass wir später sehen, dass es ein Unterraum davon ist, aber nur um meinen Punkt klarzustellen, was wichtig ist, scheint der erste zu sein$\mathcal{E}$das erscheint, ist für Teilchen$1$und die zweite$\mathcal{E}$das erscheint, ist für Teilchen$2$.

Jetzt lese ich das Buch von Cohen-Tannoudji und dazu sagt der Autor folgendes:

Stellen Sie sich ein System vor, das aus zwei Teilchen mit demselben Spin besteht$s$. Dabei ist es nicht notwendig, dass diese beiden Teilchen identisch sind, es reicht aus, dass ihre individuellen Zustandsräume isomorph sind. Um Probleme zu vermeiden, die auftreten, wenn die beiden Teilchen identisch sind, nehmen wir daher an, dass sie es nicht sind: Die Zahlen (1) und (2), mit denen sie gekennzeichnet sind, geben ihre Natur an. Beispielsweise bezeichnet (1) ein Proton und (2) ein Elektron.

Wir wählen eine Basis,$\{|u_i\rangle\}$, im Zustandsraum$\mathcal{E}(1)$von Teilchen (1). Da beide Teilchen den gleichen Spin haben,$\mathcal{E}(2)$ist isomorph zu$\mathcal{E}(1)$, und sie kann von derselben Basis aufgespannt werden. Indem wir das Tensorprodukt nehmen, konstruieren wir im Zustandsraum$\mathcal{E}$des Systems, die Basis:

$$\{|1: u_i; 2: u_j\}$$

Da die Reihenfolge der Vektoren bei einem Tensorprodukt keine Rolle spielt, haben wir

$$|2:u_j;1:u_i\rangle = |1:u_i;2:u_j\rangle.$$

Beachten Sie jedoch Folgendes:

$$|1:u_j; 2:u_i\rangle \neq |1:u_i; 2:u_j\rangle, \quad \text{if} \ i\neq j.$$

Der Permutationsoperator$P_{21}$ist dann als linearer Operator definiert, dessen Wirkung auf die Basisvektoren gegeben ist durch:

$$P_{21}|1:u_i;2:u_j\rangle = |2:u_i;1:u_j\rangle = |1:u_j;2:u_i\rangle.$$

Jetzt muss ich gestehen, dass das für mich keinen Sinn ergibt. Was diese Notation$|1:u_i;2:u_j\rangle$bedeutet? Teilchen zu sagen$1$ist bei$|u_i\rangle$und Teilchen$2$ist bei$|u_j\rangle$ist dasselbe wie zu sagen, dass das System im Zustand ist$|u_i\rangle\otimes |u_j\rangle$. Aber ich kann mir nicht vorstellen, was diese Notation bedeutet, die er verwendet.

Wie ist also dieser Text zu verstehen, den der Autor sagt? Wie man seine Notation versteht, und besonders, wie$P_{21}$ist streng definiert. Ich kann wirklich nicht verstehen, wie:

ist anders als

Wie verstehen wir also diese Notation und die Aktion dieses Operators aus mathematischer Sicht?