Wie garantiert man quadratisch integrierbare Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung?

ZUSAMMENFASSUNG DER BEARBEITETEN VERSION: Sie können keine Bedingungen stellen$V(x)$Und$E$die garantieren, dass Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung aus irgendeinem albernen Grund normalisierbar sind.

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Erste, teilweise Antwort: Wenn das Potential nach unten durch einen Wert begrenzt ist$V_\text{min}$, dann eine Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung mit$E \leq V_\text{min}$kann nicht normalisiert werden. Beweis: Angenommen$\psi(x)$ist eine normalisierte Wellenfunktion, die die Schrödinger-Gleichung mit Eigenwert löst$E$. Dann

$$E = \langle \psi | H | \psi \rangle = \int \left[ \frac{\hbar^2}{2m} \left| \frac{d\psi}{dx} \right|^2 + V(x) |\psi|^2 \right] dx > \int V(x) |\psi|^2 dx \geq \int V_\text{min} |\psi|^2 dx = V_\text{min}.$$ Wir haben im dritten Schritt strikte Gleichheit, weil $\psi$kann nicht überall Nullableitung haben und trotzdem quadratintegrierbar sein. (Beachten Sie, dass dieses Ergebnis auch ein Problem in Griffiths Text ist, mit einer anderen vorgeschlagenen Lösungsmethode.)

BEARBEITEN:

Tatsächlich denke ich, dass es unmöglich ist, Einschränkungen zu machen$V(x)$Und$E$die eine normalisierbare Lösung garantieren , und zwar aus folgendem ziemlich dummen Grund: Wenn wir die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung als ODE betrachten, dann gilt für jeden Wert von$E$es gibt zwei linear unabhängige Lösungen für die ODE zweiter Ordnung

$$- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2} + \left[ V(x) - E \right] \psi = 0.$$ Also auch wenn man eine quadratintegrierbare Funktion hat $\psi_1(x)$diese Gleichung erfüllt, gibt es noch eine weitere linear unabhängige Lösung $\psi_2(x)$das erfüllt auch die Gleichung, und diese zweite Lösung wird im Allgemeinen nicht quadratintegrierbar sein (siehe unten). Zum Beispiel, wenn Sie versuchen, die obige ODE für den harmonischen Oszillator mit zu lösen $E = \hbar \omega/2$, erhalten Sie zwei Lösungen, von denen eine die übliche hat $e^{-x^2/\sigma^2}$Verhalten (und ist daher quadratintegrierbar) und das andere geht als $e^{x^2/\sigma^2}$asymptotisch und ist daher nicht quadratintegrierbar.

Sie fragen sich vielleicht, ob es möglich ist, dass beides der Fall ist$\psi_1(x)$Und$\psi_2(x)$könnten beide quadratintegrierbar sein; aber leider stellt sich heraus, dass dies nicht der Fall ist. Um zu zeigen, dass dies nicht passieren kann, können wir eine Logik wie die von Ali Mohs Antwort verwenden. Wenn das asymptotische Verhalten führender Ordnung von$V(x)$ist proportional zu$x^\alpha$, und das Potenzial$V(x) \to \infty$als$x \to \infty$, dann können wir die Schrödinger-Gleichung asymptotisch (nach einiger Umskalierung) schreiben als

$$-\psi'' + (\beta x^\alpha - e) \psi = 0.$$ Wo $e$ist proportional zur Energie und $\beta > 0$. Wenn $\alpha > 0$, dann dominiert der erste Term in der Klammer, und die Gleichung hat dann die Näherungslösung (über Mathematica) $$\psi(x) = \left\{ \sqrt{x} I_{-1/(2+\alpha)} \left( \frac{2 \sqrt{\beta}}{2 + \alpha} x^{1 + \alpha/2} \right), \sqrt{x} I_{1/(2+\alpha)} \left( \frac{2 \sqrt{\beta}}{2 + \alpha} x^{1 + \alpha/2} \right) \right\}.$$ Wo $I_n(x)$ist eine modifizierte Bessel-Gleichung erster Art. Nun, wenn wir zwei Lösungen haben $\psi_1$Und $\psi_2$die dem gleichen Wert von entsprechen $E$und beide quadratintegrierbar sind, dann sollte sich eine lineare Kombination von ihnen wie jede dieser beiden Lösungen asymptotisch verhalten; aber diese beiden Lösungen divergieren, und $\psi_1$Und $\psi_2$beide müssen asymptotisch gegen Null gehen, um quadratintegrierbar zu sein. Daher eine der Lösungen $\psi_1$Und $\psi_2$darf nicht quadratintegrierbar sein. (Die gleiche Logik gilt, wenn $\beta < 0$; wir erhalten stattdessen nur gewöhnliche Bessel-Funktionen, die immer noch nicht quadratintegrierbar sind.)

Wenn andererseits$\alpha \leq 0$, dann ist das Potential nach oben begrenzt und wir gewinnen den von Ali Moh diskutierten Fall zurück. Auch hier ist die generische Lösung der ODE entweder oszillatorisch oder exponentiell, und daher ist höchstens eine der linear unabhängigen Lösungen der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung normalisierbar.

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Darüber hinaus bin ich mir nicht sicher, was genau man tun könnte. Sie könnten fragen: „Können wir Bedingungen stellen?$V(x)$Und$E$so dass eine normierbare Lösung der Schrödinger-Gleichung existiert? “ Aber das ist im Grunde die Frage „Ist$E$im Spektrum des Hamilton-Operators, wenn der Hamilton-Operator nur auf den Raum normierbarer Wellenfunktionen einwirkt?" Mit anderen Worten, Sie fragen nach den Energie-Eigenzuständen und Eigenwerten, wonach wir normalerweise sowieso suchen. Sie könnten es immer Ergebnisse des Variationsprinzips verwenden, um Grenzen für die Spektren bestimmter Potentiale zu setzen; und es gibt das wohlbekannte Ergebnis, dass mindestens ein gebundener Zustand ($E < 0$) existiert für jedes attraktive Potenzial in 1D (und 2D). Aber ich bin skeptisch, dass ein allgemeineres Ergebnis existiert.

Seit$V(x)$von oben begrenzt wird, haben wir drei Möglichkeiten. Entweder oszilliert es im Unendlichen mit einer oberen Schranke oder es asymptot zu einer Konstanten$<E$oder es weicht ab$-\infty$.

Da wir interessiert sind$x\rightarrow\infty$wir können die Oszillation im ersten Fall auf den Mittelwert mitteln, und wenn sie divergiert, dann beschäftigen wir uns mit der führenden höheren Polynompotenz (nennen wir sie$\alpha$, vorausgesetzt, es asymptot als Polynom, was allgemein genug ist). Das Ergebnis ist, dass das Verhalten der Wellenfunktion im Unendlichen oszillierend ist; trigonometrisch für die ersten beiden Fälle und im dritten Fall als$x^{\frac{1-\alpha/2}{2+\alpha}}J_{\frac{1}{2+\alpha}}\left(\frac{2x^{1+\alpha/2}}{2+\alpha}\right)$was wiederum zu einem oszillierenden, nicht abklingenden Verhalten asymptot.

Alle drei Fälle werden durch die asymptotische Differentialgleichung (wobei$\alpha=0$für die ersten beiden Fälle)

$$x\rightarrow\infty:\qquad \left(\frac{d^2}{dx^2} + \beta x^\alpha \right)\psi(x)=0$$

Der Punkt ist, dass in allen Fällen ein oszillierendes, nicht abklingendes asymptotisches Verhalten der Wellenfunktion zwangsläufig impliziert, dass sie nicht normalisierbar ist.