Unterschiede zwischen Wahrscheinlichkeitsdichte und Erwartungswert der Position

Im Positionsraum (das heißt, wenn Ihre Funktionen Funktionen von x sind), die Funktion$\int|\Psi|^2$gibt die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen in einem bestimmten Bereich zu finden. Der Erwartungswert von x ist der Ort, an dem Sie das Partikel erwarten würden. Es ist oft im Wesentlichen der gewichtete Durchschnitt aller Positionen, bei denen die Wahrscheinlichkeitsdichte,$|\Psi|^2$, ist die Gewichtungsfunktion (das ist nicht genau das, was es ist, aber es ist eine nützliche Analogie). Ebenso können Sie den Erwartungswert für jede messbare Größe finden. In diesem Bereich besteht der Unterschied zwischen den beiden darin, dass der Erwartungswert eine Zahl ist, die die erwartete durchschnittliche Position des Partikels über viele Messungen hinweg darstellt, während die Wahrscheinlichkeit eine Zahl ist, die Ihnen die Wahrscheinlichkeit gibt, das Partikel innerhalb der Integrationsgrenzen zu finden.

Sie können jedoch jede andere Basis verwenden. Zum Beispiel könntest du Impuls-Raum wählen,$\left|\Psi\right>$Ist$\Psi(p)$(Quantenphysiker, bitte tötet mich nicht für diesen Affront gegen die Notation). Im Impulsraum das Integral$\int|\Psi|^2$ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen einen gegebenen Bereich von Impulsen hat. Der Erwartungswert von x ist jedoch immer noch das durchschnittliche Maß von x. Was, fragen Sie, ist der Punkt? Der Erwartungswert ist eine in jeder Basis zu findende Zahl, die den „durchschnittlichen“ Wert einer Messung darstellt. Die Wahrscheinlichkeit gefunden durch$\int|\Psi|^2$ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Partikel innerhalb eines bestimmten Wertebereichs für die von Ihnen verwendete Basis gefunden wird.

$\int_{x_1}^{x_2}|\Psi|^2dx$ist "Es besteht eine Chance von # %, dass das Partikel dazwischen gefunden wird$x_1$Und$x_2$"

$\left<\Psi\right|x\left|\Psi\right>$ist "die erwartete durchschnittliche Position des Partikels über eine große Anzahl von Probenmessungen an$x$=#"

$|\Psi|^2(x)$ist eine Funktion "Die Wahrscheinlichkeit pro Längeneinheit, das Teilchen an dieser Position zu finden, ist #%"

Erwartungswert ist ein anderes Konzept als Wahrscheinlichkeit. Tatsächlich können Sie einen Erwartungswert für Energie, Drehimpuls usw. haben, nicht nur für die Position.

Ein Erwartungswert einer Observable für einen gegebenen Zustand$\Psi$ist der Durchschnittswert einer großen Anzahl von Messungen dieser Observablen, vorausgesetzt, jede Messung erfolgt im selben Zustand$\Psi$. Zum Beispiel, wenn Sie die Wahrscheinlichkeit 0,5 haben, Energie zu messen$E_o$und Wahrscheinlichkeit 0,5 zu messen$-E_o$, der Erwartungswert ist$0.5\times E_o + 0.5\times(-E_o) = 0$. Wie dieses Beispiel zeigt, muss der Erwartungswert nicht zu den „erlaubten“ Maßen gehören. Dies zeigt auch, dass die Kenntnis der Wahrscheinlichkeiten ein anderes Konzept ist als die Kenntnis des Durchschnittswerts einer großen Anzahl von Messungen.

Dasselbe gilt für die Position. Sie wissen vielleicht, wie hoch die Wahrscheinlichkeitsdichte an einer bestimmten Position ist, aber Sie müssten zusätzliche Berechnungen durchführen, um herauszufinden, was der Durchschnittswert vieler Positionsmessungen wäre.

Lassen$\Omega\subseteq \mathbb{R}^n$; Dann$\int_\Omega \lvert\psi(x)\rvert^2dx$, für eine normalisierte Funktion$\psi\in L^2(\mathbb{R}^n)$gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass sich das Teilchen im Raumbereich befindet$\Omega$, macht aber keine weiteren Angaben zu seiner Position. Will man zu letzterem (im Rahmen der Quantenunbestimmtheit) eine quantitative Aussage treffen, muss man den Erwartungswert berechnen$\int_{\mathbb{R}^n} x_j\lvert\psi(x)\rvert^2dx$, für jede Komponente$x_j$.

Der Erwartungswert (der Position) stellt den Mittelwert (Position) für das Partikel dar (er hat in diesem Fall Längeneinheiten), der sich von dem tatsächlichen Ort des Partikels (ebenfalls Längeneinheiten) unterscheidet. Nehmen Sie zum Beispiel ein Elektron an einem Wasserstoffatom; der Erwartungswert für alle Energieniveaus liegt beim Kern, obwohl viele der Energieniveaus eine Wahrscheinlichkeit von 0 haben, dort zu sein .

Die Wellenfunktion stellt eine Verteilung möglicher Werte dar und muss einheitenlos werden (technisch Einheiten eines Teilchenanteils), nachdem wir sie quadriert und in Bezug auf die betrachtete Basis integriert haben. In einer Dimension hat es Längeneinheiten$^{-1/2}$.

So wichtig das auch ist, die meisten Größen, die wir zuerst berechnen (Erwartungswert, physikalische Raumwellenfunktionen usw.), bieten einen einfachen und intuitiven Einstieg in den Formalismus und das Üben mit verschiedenen Grundlagen. Wertvollere (leicht messbare) Größen könnten der Erwartungswert der Polarisation, Energie, Impuls und verschiedene Unsicherheiten sein.

Physiker haben eine schreckliche Angewohnheit, Ad-hoc-Notationen zu verwenden, und Jim leistet großartige Arbeit darin, die Notationen für verschiedene physikalische Werte und die Wahl der Basis zu erklären, obwohl es urkomisch ist, sich bei Physikern für den Missbrauch der Notation zu entschuldigen.

Ich habe 5 Tüten, die mit 1 bis 5 beschriftet sind, und ich habe zufällig die Buchstaben A bis J in die Tüten fallen lassen. Du wählst zufällig einen Buchstaben aus und gewinnst so viele Franken wie die Zahl auf dem Beutel mit deinem Buchstaben.

Wenn ich die Buchstaben gleichmäßig verteilt habe, sollten in jedem Beutel 2 Buchstaben sein, also könnten wir sagen, dass ψ(Taschennummer) = ψ = sqrt(2).

Aber wenn wir wissen wollen, mit wie viel Franken wir im Schnitt rechnen, dann sagen wir:

E[Franken] = [1 Franken x 2 + 2 Franken x 2 + ... ]/[2 + 2 + ... ] = 3

ψ ist nicht der erwartete Wert, sondern die Verteilung über die verfügbaren Werte. Um den erwarteten Durchschnittswert zu finden, müssen Sie also einen gewichteten Durchschnitt mit den Werten und den Wahrscheinlichkeiten erstellen.