Ungenaue Messung und Zusammenbruch der Wellenfunktion

Wie man gewöhnlich sagt, Messung einer Observable Q führt zum Kollaps der Wellenfunktion in einen Eigenzustand des entsprechenden Operators Q ^ . Das heißt, jetzt ist die Wellenfunktion drin Q Vertretung ist ψ ( Q ) = δ ( Q − Q 0 ) Wo Q 0 ist Messergebnis.

Nun, in Wirklichkeit sind Messungen nie genau, also sollte die Wellenfunktion nicht diese scharfe Spitze haben. Stattdessen sollte sie je nach Messgenauigkeit erweitert werden. Können wir in diesem Fall noch einen Operator einführen, dessen Eigenzustand die neue Wellenfunktion darstellen würde? Ist es in irgendeiner Weise nützlich? Oder hängt die neue Wellenfunktion zu sehr davon ab, wie sie gemessen wurde, sodass jedes Instrument einen eigenen Operator hätte? Wie würde ein solcher Operator zB für ein Einzelspaltexperiment aussehen?

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Zunächst einmal streng genommen als Spektrum des Positionsoperators X An L 2 ( R ) rein stetig ist, das spektrale Maß P E wird durch Borel-Mengen gekennzeichnet E ⊂ R , also insbesondere E kann ein Intervall sein [ A , B ] . In Positionsdarstellung:

( P E ψ ) ( X ) = χ E ( X ) ψ ( X ) ∀ X ∈ R
Wo χ E ( z ) = 1 Wenn z ∈ E , oder χ E ( z ) = 0 ansonsten. Bei der Messung der Position des Partikels, wenn die Genauigkeit des Instruments ist 2 δ > 0 , so dass man innerhalb des Intervalls nichts unterscheiden kann [ X 0 − δ , X 0 + δ ] , die Wellenfunktion unmittelbar nach der Messung ist bis auf die Normierung
χ [ X 0 − δ , X 0 + δ ] ψ
bereitgestellt ψ war die Wellenfunktion vor der Messung und die gefundene Position war X 0 (unter Berücksichtigung der Genauigkeit des Instruments).

Dies ist nichts anderes als ein Sonderfall des von Neumann-Luders-Axioms zur Quantenmessung, das sowohl Observable mit Punktspektrum als auch mit kontinuierlichem Spektrum umfasst. Im zweiten Fall kann der Begriff des Eigenvektors nicht gelten und ist aber keineswegs notwendig. Allein der Begriff des Spektralmaßes, der einem selbstadjungierten Operator zugeordnet ist, ist ausreichend.

Die Tatsache, dass reale Instrumente für Observable mit kontinuierlichem Spektrum wirklich durch dieses Axiom beschrieben werden, selbst unter Berücksichtigung der Genauigkeit wie zuvor, ist jedoch aus vielen praktischen Gründen fraglich. Plausibler ist es, dass bei realen (zerstörungsfreien) Positionsexperimenten die Wellenfunktion nach der Messung durch eine sogenannte Quantenoperation ( http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_operation ) aus der eingehenden erhalten wird.

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Bei ungenauen Messungen müssen Sie die allgemeinere statistische Quantenmechanik anstelle der einfachen Quantenmechanik mit reinem Zustand verwenden.

Denn am Ende steht kein reiner Quantenzustand, sondern nach einer ungenauen Messung ein "dreckiger" Zustand ( gemischter Quantenzustand ), der im klassischen Sinne durch Unsicherheit getrübt ist. Diese Mischung aus Quantenzustand mit klassischer Unsicherheit lässt sich nicht durch einen einzelnen Quantenzustand, wohl aber durch eine Dichtematrix darstellen .

(Meiner Meinung nach ist es sowieso eine gute Idee, statistische Methoden zu verwenden, auch wenn es um exakte Messungen geht. Auf diese Weise können Sie Dinge wie Umweltdekohärenz einbeziehen.)

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