Erwartungswert des Hamiltonoperators in verschiedenen Bildern der Quantenmechanik

Wir beginnen mit der bekannten Schrödinger-Gleichung:

ich ℏ ∂ | ψ S ⟩ ∂ T = H ^ S | ψ S ⟩

Da wechseln wir mit einer einheitlichen Transformation zu einem anderen Bild als dem Schrödinger-Bild U ^ :

| ψ S ⟩ = U ^ | ψ P ⟩
( S zeigt Schrödinger Bild und P zeigt das willkürliche Bild an) Wenn wir einstecken | ψ S ⟩ = U ^ | ψ P ⟩ in die Schrödingergleichung erhalten wir:

ich ℏ ∂ | ψ P ⟩ ∂ T = H ^ P | ψ P ⟩
Wo
H ^ P = U † H S ^ U − ich ℏ U † ∂ U ∂ T
ist der Hamiltonoperator in diesem willkürlichen Bild.

Die Frage ist also - wenn Hamiltonian eine Observable ist, sollte sie nicht in beiden Bildern die gleichen Erwartungswerte haben - noch den zweiten Term in H ^ P macht sie ungleich. Weil:

⟨ ψ P | H ^ P | ψ P ⟩ = ⟨ ψ P | U † H S ^ U | ψ P ⟩ − ich ℏ ⟨ ψ P | U † ∂ U ∂ T | ψ P ⟩
dies vereinfacht zu:
⟨ ψ P | H ^ P | ψ P ⟩ = ⟨ ψ S | H S ^ | ψ S ⟩ − ich ℏ ⟨ ψ P | U † ∂ U ∂ T | ψ P ⟩
uns sagen, dass die Erwartungswerte in zwei verschiedenen Bildern nicht gleich sind. Ich sehe keinen Grund, warum der letzte Term Null sein sollte. Was ist hier falsch? Unterscheidet sich Hamiltonian etwas von anderen Observablen?

Die Definition von H P in op's post ist für mich nicht körperlich motiviert. Nehmen Sie zum Beispiel das Heisenberg-Bild, bei dem der Zustandsvektor stationär ist. Daher
ich ∂ | ψ P ⟩ / ∂ T = 0
, daher H P = 0 .... Wir kennen die motivierte (oder gebräuchliche) Definition
H P := U † H S U
Hier ist ein explizites Beispiel für diese Art von Transformation, die Fragen darin ( Frage 3 und 1 ) sind diesem Beitrag sehr ähnlich, ich hoffe, es kann jemandem und mir helfen, diese Art von Situation besser zu verstehen.

Antworten (1)

Es ist nur im Schrödinger-Bild (und den damit verbundenen zeitunabhängigen U ), für die der Hamiltonoperator aus der dynamischen Gleichung abgelesen werden kann | ψ ⟩ . In allen anderen Bildern finden Sie dort eine Art "effektiven Hamiltonoperator", der sich von dem eigentlichen Hamiltonoperator in diesem Bild unterscheidet. So

H ^ P = U † H ^ S U
ist der Hamiltonoperator in P und
H ^ P , e F F = U † H ^ S U − ich ℏ U † ∂ T U
ist derjenige, von dem Sie abgelesen haben
ich ℏ ∂ T | ψ P ⟩ = H ^ P , e F F | ψ P ⟩ .

Jetzt wird das klar ⟨ ψ P | H ^ P | ψ P ⟩ = ⟨ ψ S | H ^ S | ψ S ⟩ ≠ ⟨ ψ P | H ^ P , e F F | ψ P ⟩ Im Algemeinen.

Zum Beispiel im Heisenberg-Bild ( P → H ) wir haben

H ^ H = H ^ S
Aber
H ^ H , e F F = 0.

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