Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung in Matrixform

Wenn wir einen Hilbertraum von haben C 3 so dass eine Wellenfunktion ein 3-Komponenten-Spaltenvektor ist

ψ T = ( ψ 1 ( T ) , ψ 2 ( T ) , ψ 3 ( T ) )
Mit Hamiltonian H gegeben von
H = ℏ ω ( 1 2 0 2 0 2 0 2 − 1 )
Mit
ψ T ( 0 ) = ( 1 , 0 , 0 ) T
Also machte ich mich daran, die stationären Zustände von zu finden H durch Finden seiner Eigenvektoren und Eigenwerte. H hat Eigenwerte und Eigenvektoren:
3 ℏ ω , 0 , − 3 ℏ ω
ψ + = 1 3 ( 2 , 2 , 1 ) T , ψ 0 = 1 3 ( 2 , − 1 , − 2 ) T , ψ − = 1 3 ( 1 , − 2 , 2 ) T
Bzw.

Könnte mir jemand erklären, wie man von dieser zu einer allgemeinen zeitabhängigen Lösung kommt und Wahrscheinlichkeiten des Standorts berechnet? ist mir bisher nur begegnet Ψ = Ψ ( X , j , z , T ) vorher, also bin ich extrem verwirrt von diesem Matrixformat.

Für jede Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Antworten (1)

Die allgemeine Lösung ist

ψ ( T ) = ∑ k C k e − ich T E k / ℏ ψ k
bei dem die ψ k bilden eine Basis von Eigenvektoren mit entsprechenden Eigenwerten E k , und das C k sind konstant.

Sie können beliebige Anfangsbedingungen bei anpassen T = 0 durch Erweitern des Anfangszustands in der Eigenbasis; dies bestimmt den Wert für die C k .

[Bearbeiten] Um die statistische Interpretation zu erhalten: Der Erwartungswert der Hermiteschen Observablen A zum Zeitpunkt T ist im Schrödinger-Bild durch gegeben

⟨ A ⟩ T := ψ ( T ) ∗ A ψ ( T ) .
Hier wird davon ausgegangen ψ ( T ) hat die Norm 1. Da die quadrierte Norm durch die Dynamik bewahrt wird, ergibt dies eine wohldefinierte Erwartung (dh die Erwartung der Identitätsmatrix ist zu allen Zeiten 1).

Ok, gut, das hatte ich mir vorgestellt, ich war mir nicht sicher. Aber was noch wichtiger ist, wie interpretiert man das probabilistisch in Matrixform?
Tut Ihr C = 0 bedeuten C ( T = 0 ) ?
Der C k konstant sind und a T fehlte im Exponenten der ersten Formel. C = 0 gemeint T = 0 . Ich habe beide Fehler korrigiert; Verzeihung.
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