Energiebetreiber

Ich werde das Folgende so formulieren, dass sich die Sprache innerhalb der Antwort nicht zu sehr ändert. Dies betont auch die Analogien verwandter Konzepte.

• Klassischerweise haben Sie eine Konfiguration/einen Zustand$\Psi$, die durch Koordinaten gekennzeichnet ist$x^i,v^i$oder$q^i,p_i$und/oder andere relevante Parameter. Dann ist eine Energie eine Funktion oder Funktion dieser Konfiguration

  $$H:\Psi\mapsto E_\Psi,\ \ \mbox{where}\ \ E_\Psi:=H[\Psi].$$

  Hier$E_\Psi$ist ein realer (Energie-)Wert, der mit der Konfiguration verbunden ist$\Psi$.

  Um ein Beispiel zu nennen: Let$q$Und$p$Seien die Koordinaten Ihres zweidimensionalen Phasenraums, dann jeder Punkt$\Psi=(q,p)$kennzeichnet eine mögliche Konfiguration. Die Konfiguration/der Zustand$\Psi$hier ist wirklich nur das Koordinatenpaar. Die Skalarfunktion$H(p,q)=\frac{1}{2m}p^2+\frac{\omega}{2}x^2$Anschaulich ist eine Karte, die einen skalaren Energiewert zuordnet$E_\Psi$zu jeder möglichen Konfiguration$\Psi$.

  Die Entwicklung von$\Psi$in der Zeit wird durch bestimmt$H$, siehe Hamiltonsche Gleichungen. Dies könnte als der Punkt angesehen werden, an dem der Hamilton-Operator überhaupt gefunden wurde, und es wird normalerweise so gemacht, dass der Energiewert$E_\Psi$wird sich mit der Zeit nicht ändern. Siehe auch diesen Thread für eine verwandte Frage. Was Sie "Energie" nennen, wird ziemlich genau von diesem Kriterium bestimmt. Im Falle eines zeitunabhängigen Hamiltonoperators (wie im Beispiel) und wenn die zeitliche Entwicklung von Observablen$f$regiert wird$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t}$, dann hast du$\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t} = \{H, H\} = 0$und die Erhaltung der Menge$E_\Psi:=H[\Psi]$ist offensichtlich. Natürlich möchten Sie vielleicht Reibungsprozesse und so weiter modellieren, und es könnte dann schwierig sein, alle relevanten Größen zu definieren.

• In der Quantenmechanik Ihre Konfiguration$\Psi$ist durch einen Zustandsvektor gegeben$|\Psi\rangle$(oder eine Äquivalenzklasse solcher Vektoren) in einem Hilbert-Raum. Es gibt viele Vektoren in diesem Hilbert-Raum, aber es gibt einige Vektoren$|\Psi_n\rangle$, die ebenfalls den ganzen Vektorraum aufspannen und außerdem in folgendem Sinne speziell sind: Sie sind Eigenvektoren des Hamilton-Operators:$H|\Psi_n\rangle = E_n|\Psi_n\rangle$. Hier$E_n$ist nur die echte Eigenvariable und ich gehe davon aus, dass ich die Eigenzustände durch einen diskreten Index aufzählen kann$n$. Jetzt für jeden Zeitpunkt Ihr Zustandsvektor$\Psi$ist nur eine lineare Kombination der Sonderzustände$\{\Psi_n\}$. (Als Anmerkung, beachten Sie, dass alle Zeitabhängigkeiten von Zuständen in diesem Beitrag implizit gelassen werden.) Daher, wenn Sie wissen, wie$H$wirkt auf alle$\Psi_n$Du weißt wie$H$wirkt auf alle$\Psi$. Denn zu einem Hilbertraum gehört natürlich auch ein inneres Produkt, also eine Abbildung

  $$\omega:(|\Psi\rangle,|\Phi\rangle)\mapsto\langle\Psi|\Phi\rangle\in\mathbb{C},\ \ \mbox{satisfying}\ \ \langle\Psi|\Psi\rangle>0\ \ \forall\ \ |\Psi\rangle\ne 0,$$

  Sie können eine neue Karte definieren

  $$\omega_H:\Psi\mapsto E_\Psi,\ \ \mbox{where}\ \ E_\Psi:=\omega_H[\Psi],$$

  mit

  $$\omega_H[\Psi]:=\omega(|\Psi\rangle,H|\Psi\rangle)\equiv\langle\Psi| H|\Psi\rangle.$$

  Vergleichen Sie die Zeilen oben mit dem klassischen Fall. Hier$E_\Psi=\ ...=\langle\Psi| H|\Psi\rangle$heißt dann Erwartungswert des Hamiltonoperators im physikalischen Zustand. Es ist der damit verbundene Energiewert$\Psi$, was aufgrund der Hermitizität des Hamiltonoperators reell ist. Auch, wie im klassischen Fall, die zeitliche Entwicklung eines beliebigen Zustands$\Psi$(bzw. Zustandsvektor$|\Psi\rangle$) wird durch das Observable bestimmt$H$, ein Operator im QM-Fall. Und wie gesagt, genau das$H$, zusammen mit dem Status/der Konfiguration$\Psi$, gibt Ihnen die Energiewerte$E_\Psi$verknüpft mit$\Psi$. Diese Beziehung von Zeit und Energie ist konstruiert: Die Schrödinger-Gleichung ist ein Axiom (aber ein natürliches, siehe Wahrscheinlichkeitserhaltung), das die Zeitentwicklung und die Hamilton-Funktion in Beziehung setzt. Wenn nun die Zeitabhängigkeit des Zustands durch den Hamilton-Operator bestimmt wird (wie auch immer es in Ihrem Szenario aussehen mag), dann gilt dies auch für die Zeitabhängigkeit von$\langle\Psi| H|\Psi\rangle$.

  Und wenn$\ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi\rangle=H|\Psi\rangle\ $gilt für alle Vektoren in Ihrem Hilbert-Raum, dh wenn$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}=H$als Operatorgleichung gilt, dann handelt es sich tatsächlich um denselben Operator. Wenn Sie nach einer Interpretation dafür fragen, dann würde ich vorschlagen, dass Sie an der quantenmechanischen Beziehung zwischen Frequenz und Energie festhalten. In Bezug auf die Gleichung, die die Zeitentwicklung bestimmt, ist die Quantenmechanik in gewissem Sinne viel einfacher als die klassische Mechanik, insbesondere wenn Sie etwas Intuition für die Lie-Gruppentheorie in Ihrem Rucksack haben.

Das klassische Beispiel für etwas, bei dem sich der Hamilton-Operator von der Gesamtenergie unterscheidet, ist ein Teilchen in einer Beschleunigungsbeschränkung, wie eine Teilchenperle, die auf einem rotierenden Draht gleitet. Ich werde ein anderes System verwenden, ein Teilchen der Masse m in einem langen, gleichmäßig beschleunigenden Kasten.

Beschleunigt die Kiste mit der Beschleunigung a, wirkt im mitbewegten System eine fiktive Kraft auf das Teilchen, die sich aus einem fiktiven Potential ergibt. Die mitbewegte Hamilton-Beschreibung ist die gleiche wie für ein Teilchen in der Schwerkraft, so dass

Was für positives x gilt und das Potential für negatives x unendlich ist. Betrachtet man dasselbe Teilchen im nicht beschleunigten Rahmen, ist die Gesamtenergie nur die kinetische Energie, und die potentielle Energie hindert das Teilchen daran, in die Region einzudringen$x<{at^2\over 2}$. Der mitbewegte Hamilton-Operator ist nicht die Energie des Teilchens, die unbegrenzt mit der Zeit zunimmt, aber er gibt das dynamische Gesetz für die mitbewegte Rahmenwellenfunktion an.

Die Wellenfunktion des Teilchens wird (wenn es strahlen kann) auf den Grundzustand des sich bewegenden Hamilton-Operators einschwingen. Das Partikel befindet sich in einem gebundenen Profil an der Wand, wobei die Bindung durch ein lineares Potential erfolgt. Für den Trägheitsrahmen beschleunigt dieses Profil stetig und seine Energie beruhigt sich nicht. Die Beziehung zwischen den beiden ergibt sich aus der Verstärkung der Wellenfunktion um einen zeitabhängigen Betrag.

Für Systeme, die nicht eingeschränkt sind, ist der Hamiltonoperator immer die Gesamtenergie. Dies gilt auch für Systeme, bei denen die Beschränkungen dem System keine Energie hinzufügen. Der Hamiltonoperator für Systeme, die Energie hinzufügen, ist normalerweise explizit zeitabhängig, nicht jedoch in dem Fall, wo die Dynamik aus Sicht des Teilchens zeitunabhängig ist. Mathematisch gesehen haben Sie in einem solchen System eine nichttriviale Zeittranslationsinvarianz, die eine Symmetrie ist, und im Fall beschleunigter Teilchen mischt diese Zeittranslationssymmetrie die Trägheitsrahmen-Zeittranslation und verstärkt sie.