Wann ist der Hamiltonoperator eines Systems nicht gleich seiner Gesamtenergie?

In einem idealen, holonomen und monogenen System (das übliche in der klassischen Mechanik) ist der Hamilton-Operator genau dann gleich der Gesamtenergie, wenn sowohl die Beschränkung als auch der Lagrange-Operator zeitunabhängig sind und kein verallgemeinertes Potential vorhanden ist.

Daher ist die Bedingung für Hamiltonsche Energiegleichheit ziemlich streng. Dans Beispiel ist eines, in dem Lagrange von der Zeit abhängt. Ein häufigeres Beispiel wäre der Hamiltonoperator für geladene Teilchen im elektromagnetischen Feld

$$H=\frac{\left(\vec{P}-q\vec{A}\right)^2}{2m}+q\varphi$$ Der erste Teil entspricht der kinetischen Energie ( $\vec{P}$ist kanonisch, kein mechanischer Impuls), aber der zweite Teil IST NICHT unbedingt potentielle Energie, wie im Allgemeinen $\varphi$kann mit einer Lehre beliebig verändert werden.

Der Hamiltonoperator ist im Allgemeinen nicht gleich der Energie, wenn die Koordinaten explizit von der Zeit abhängen. Als Beispiel können wir das System einer Masseperle nehmen$m$auf einen Kreisring mit Radius beschränkt$R$. Wenn wir die definieren$0$für den Winkel$\theta$um der unterste Teil des Rings zu sein, der Lagrange

$$L=\frac{mR^2\dot{\theta}^2}{2}-mgR(1-\cos{(\theta)}).$$ Der konjugierte Impuls $$p_{\theta}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=mR^2\dot{\theta}.$$ Und der Hamiltonian $$H=\frac{p_{\theta}^{2}}{2mR^2}+mgR(1-\cos{\theta}),$$ was gleich der Energie ist.

Wenn wir jedoch die definieren$0$damit sich Theta mit einer Winkelgeschwindigkeit um den Ring bewegt$\omega$, dann der Lagrange

$$L=\frac{mR^2(\dot{\theta}-\omega)^2}{2}-mgR(1-\cos{(\theta-\omega t)}).$$

Der konjugierte Impuls

$$p_{\theta}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=mR^2\dot{\theta}-mR^2 \omega.$$

Und der Hamiltonian

$$H=\frac{p_{\theta}^{2}}{2mR^2}+p_{\theta}\omega+mgR(1-\cos(\theta-\omega t)),$$ was nicht gleich der Energie ist (in Bezug auf$\dot{\theta}$es hat eine explizite Abhängigkeit von$\omega$).

Goldsteins Klassische Mechanik (2. Aufl.) pg. 349, Abschnitt 8.2 über zyklische Koordinaten und Erhaltungssätze' hat eine gute Diskussion darüber. In seinen Worten:

The identification of H as a constant of the motion and as the total energy 
are two separate matters.  The conditions sufficient for one are not 
enough for the other.  

Anschließend liefert er ein Beispiel für ein 1-d-System, in dem er zwei verschiedene verallgemeinerte Koordinatensysteme auswählt. Bei der ersten Wahl ist H die Gesamtenergie, während H bei der zweiten Wahl nur eine Erhaltungsgröße und NICHT die Gesamtenergie des Systems ist.

Hör zu. Es ist ein sehr schönes Beispiel.

Etwas kompliziert, aber interessant ist der Lagrangian des gedämpften harmonischen Oszillators (Havas' Lagrangeian [1]):

$$L = \frac{2m\dot{x} +kx}{x\sqrt{4mK-k^2}}\tan^{-1}\left(\frac{2m\dot{x} + kx}{x\sqrt{4mK -k^2}} \right) -$$ $$- \frac{1}{2}\ln (m\dot{x}^2 + kx\dot{x} + Kx^2)$$

Der Lagrange-Operator ist zeitunabhängig, daher bleibt der entsprechende Hamilton-Operator von Havas erhalten. Da die Gesamtenergie des gedämpften harmonischen Oszillators mit der Zeit abnimmt,$H$kann nicht Gesamtenergie sein.

[1] Havas P., Der Anwendungsbereich des Lagrange-Formalismus - I, Nuovo Cim. 5 (Ergänzung), 363 (1957)

Seite 60-64 Goldstein, Poole und Safko (3. Auflage) gehen auf eine wirklich schöne Ableitung und Beschreibung der Energiefunktion ein. In den Fußnoten heißt es, dass dies dem Hamilton-Operator entspricht (es hat nur nicht die korrekten verallgemeinerten Koordinaten für den Hamilton-Operator). Wenn diese Funktion von scleronomous abgeleitet ist (Gleichungen von Einschränkungen sind zeitunabhängig) und es keine gibt$\dot{q}$Abhängigkeit in der potentiellen Energie, dann kannst du zeigen, dass h=T+V. Diese Bedingungen stellen sicher, dass T gemäß dem Satz von Euler 2. Grad homogen ist, und dies ist die Bedingung, die eine Transformation zu T + V ermöglicht.

Das alles wird sehr schön in Goldstein gezeigt.

Der Hamiltonoperator eines Systems ist genau dann äquivalent zur Gesamtenergie des Systems, wenn die folgende(n) Bedingung(en) erfüllt sind:

Denken Sie daran, dass Hamiltonian der ist$Legendre$ $Transformation$des$Lagrangian$, müssen wir die Struktur von berücksichtigen$Lagrangian$, um die zu bestimmen$Hamiltonian$eines Systems.

$1.$Der Lagrange:$L$, muss die Form haben,$L$= ($T$-$V$), und um dies zu haben, müssen wir die berücksichtigen$d'Alembert's Principle$, was ergibt:

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}{(\frac{\partial T}{\partial \dot{q_i}}) - \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}q_i} = Q_j}{ ...... (\alpha)}$$

Wo dies$Q_j$ist die verallgemeinerte Kraftkomponente für die$j$-te verallgemeinerte Koordinate, die die Zwangskräfte sind.

Ganz klar für:

Da Bewegungsbeschränkungen explizit zeitabhängig sind (auf das System ausgeübte Kraft kann eine explizite Zeitabhängigkeit haben), ist dies anders, aber für sehr allgemeine Zwecke, bei denen die auf das System wirkende(n) Kraft(en) direkt von seinem jeweiligen Skalierungspotential abgeleitet werden können, dh zum

Konservatives Kraftfeld, wir können schreiben,

$$Q_j = F_j = -\nabla_j (V)$$ , dh das Scaler-Potenzial, und vereinfachend die$(\alpha)$, wir bekommen$L = (T-V)$

$Note$ $that$: In Fällen des Vorhandenseins eines Vektorpotentials, wie bei EM-Feldern, gibt es einen weiteren Fall von expliziter Zeitabhängigkeit, wenn Felder von der Zeit abhängig sind, was einen anderen Aspekt darstellt, dh für zeitvariables Potential können wir das nicht explizit schreiben$Lagrangian$auf diese Weise. Aber die$Hamiltonian$auf diese Weise gebildet wird, wird immer noch die Gesamtenergie des Systems sein.

Nun können wir schlussfolgern, dass wir dies für zeitabhängige Beschränkungen einer Bewegung nicht sagen können$Hamiltonian$entspricht dem$Total$ $Energy$vom System.