Was genau sagt uns der Hamilton-Operator?

Sie sind auf dem richtigen Weg.

Eine gute Möglichkeit, über den Hamiltonian nachzudenken, ist, dass er das ist, was „die Übersetzung in der Zeit verursacht“. Dies ist nur ein Jargon für die Tatsache, die Sie bereits beobachtet haben, dass der Hamilton-Operator Ihnen sagt, wie sich das System in der Zeit vorwärts bewegt, wie es in der Schrödinger-Gleichung zusammengefasst ist

$$i\hbar d_t |\Psi\rangle = H |\Psi \rangle .$$

Ich vermute, dass dies etwas mit der Beziehung von Heisenberg zwischen Energie und Zeit zu tun hat:

$$ΔEΔt≥ℏ2$$ Die Beziehung scheint also der zwischen Ort und Impuls ähnlich zu sein, und ich glaube, dass der Kommutator von Ort und Impuls iℏ ist, der in der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung auftaucht.

In der Tat. Eine gute Möglichkeit, die Verbindung zu verstehen, besteht darin, sich klar zu machen, dass der Impulsoperator, ähnlich wie der Hamiltonoperator Verschiebungen in der Zeit erzeugt, Verschiebungen in der Position erzeugt! Drücken wir das mal mathematisch aus. Bezeichne als$|x\rangle$ein Quantenzustand, der ein Eigenzustand des Positionsoperators ist, dh$\hat{x}|x\rangle = x|x\rangle$. Lassen$\Delta x$eine gewisse Positionsverschiebung sein (kein Operator). Es stellt sich heraus, dass

$$e^{-i\hat{p} \Delta x/\hbar} |x\rangle = |x+\Delta x\rangle. \qquad (1)$$ Auf Englisch heißt das, dass der Betreiber $\exp[-i\hat{p}\Delta x / \hbar]$ übersetzt den Zustand $|x\rangle$um einen Betrag $\Delta x$. Dies ist völlig analog zu der Tatsache, dass der Operator $\exp[ -i H t/\hbar]$übersetzt einen Zustand um einen Betrag in der Zeit vorwärts $t$. In der Tat, wenn wir die Ableitung von Gl. (1) in Bezug auf $\Delta x$, wir bekommen

$$\begin{align} (-i\hat{p}/\hbar)e^{-i \hat{p}\Delta x / \hbar}|x\rangle &= d_{\Delta x}|x+\Delta x \rangle \\ -i\hat{p}/\hbar |x + \Delta x\rangle &= d_{\Delta x}|x + \Delta x\rangle \\ \text{or} \qquad \hat{p}|\Psi\rangle &= i\hbar d_{\Delta x} |\Psi\rangle \qquad (2) \end{align}$$

Vergleichen wir Gl. (2) mit der Schrödinger-Gleichung:

$$\begin{align} \text{Schrodinger}\qquad i\hbar d_t |\Psi\rangle &= \hat{H}|\Psi\rangle \\ \text{Eq. (2)}\qquad i\hbar d_{\Delta x}|\Psi\rangle &= \hat{p}|\Psi\rangle \end{align}$$ Wie Sie sehen können, macht der Impulsoperator, wenn man sich vorstellt, dass er Verschiebungen in der Position durchführt, den Hamilton-Operator ganz ähnlich, wenn er Verschiebungen in der Zeit durchführt. Auf ganz ähnliche Weise erzeugt der Positionsoperator Translationen im Impuls.

Die wirklich allgemeine Aussage hier ist, dass wenn Sie zwei Operatoren haben$\hat{\alpha}$und$\hat{\beta}$mit Kommutator$[\hat{\alpha},\hat{\beta}]=i\gamma$wo$\gamma$ist eine beliebige reelle Zahl ($\gamma=\hbar$für den Fall von$\hat{x}$und$\hat{p}$), dann$\alpha$und$\beta$Übersetzungen voneinander erzeugen [3]. Beachten Sie, dass mit einem$\hbar$in Schrödingers Gleichung auftauchen, ist eine Konvention. Sie könnten mit dem Betreiber zusammenarbeiten$H/\hbar$, die stattdessen Frequenzeinheiten hat und niemals sehen$\hbar$ist irgendwo in Ihren Bewegungsgleichungen. Das ist mir eigentlich viel lieber. Manche Leute nennen das fälschlicherweise „Einstellung“.$\hbar$zu eins".

Die Analogie zwischen Ort/Impuls und Energie/Zeit bricht jedoch irgendwann zusammen, weil es keinen Zeitoperator gibt.

Weitere Informationen zu Übersetzungsoperatoren finden Sie im Wikipedia-Artikel zu Übersetzungsoperatoren für eine mathematisch generische Beschreibung und auch in diesem Physics SE-Beitrag .

[3]: Das ist eigentlich nicht einmal wirklich speziell für die Quantenmechanik. Wenn Sie Differentialgeometrie studieren, finden Sie Beziehungen wie diese, die immer dann gelten, wenn zwei Dinge eine Beziehung haben, die einem Kommutator ähnlich ist.