Ich dachte, eine Bewegungsgleichung wäre etwas, bei dem man eine Lagrange-Funktion erhält und mit der Euler-Lagrange-Gleichung dann die Bewegungsgleichungen für dieses System findet. Dieselbe Grundidee für den Hamilton-Operator, aber mit Hamilton-Gleichungen.
Aber die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung wird geschrieben als
Ich bin auch davon ausgegangen
Meine Frage:
Kann jemand erklären, warum die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung kein EOM ist?
Die TISE ist eine Eigenwertgleichung aufgrund der Anwendung der Trennung von Variablen auf die TDSE; es ist eine Gleichung für die räumliche Funktion allein.
Kann jemand erklären, in welchem Sinne genau die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung eine Bewegungsgleichung ist?
Ein Lagrangian (Dichte), für den das TDSE (und sein Konjugat) ein EOM ist
Die eigentlichen Konstruktionen, die dem Formalismus der Quantenmechanik ähneln, existieren in der klassischen Mechanik, aber sie gehen etwas über den Lagrange-Formalismus hinaus. In der klassischen Mechanik kann man ein System durch einen Phasenraum mit Punkten darstellen, die den Zuständen des Systems entsprechen. Nun bilden Funktionen über diesem Phasenraum zusammen mit der Poisson-Klammer als Lie-Klammer eine symplektische Lie-Algebra. Die Hamilton-Gleichungen können dann als Wirkung des Hamilton-Operators betrachtet werden, der auf die Phasenraumfunktion einwirkt Und durch die Lie-Bracket-Aktion. Was diese Gleichungen sagen, ist, dass diese Aktion des Hamilton-Operators mit der Ableitung in Bezug auf einen Parameter (Zeit) dieser Funktionen über den Phasenraum zusammenhängt.
Wenn Sie sich in die Heisenberg-Sichtweise der Quantenmechanik versetzen, wo die Zeitabhängigkeit auf die Operatoren gelegt wird, sehen wir einen direkten Zusammenhang. Die Hamilton-Gleichung zusammen mit der Poisson-Klammer kann auf den vorliegenden Fall bezogen werden, indem die Funktionen über dem Phasenraum durch Operatoren ersetzt werden, die auf einen Hilbert-Raum wirken, und die Poisson-Klammer durch den Kommutator als Lie-Klammer ersetzt wird. Was Sie erhalten, sind die Bewegungsgleichungen der Quantenmechanik im Heisenberg-Bild (wenn die Operatoren nicht explizit von der Zeit abhängen). Es ist ziemlich interessant, dass die exakt gleiche algebraische Bewegungsstruktur (Poisson-Algebra) in der klassischen Mechanik und in der Quantenmechanik (und sogar in der QFT! Siehe kanonische Quantisierung.) vorhanden ist, wobei der Unterschied in den Realisierungen unter Verwendung unterschiedlicher mathematischer Objekte liegt.
Jetzt wissen wir, dass wir diese Gleichungen der Zeitabhängigkeit unter Verwendung der Zustandsvektoren im Hilbert-Raum anstelle der Operatoren selbst umschreiben können. Dies ist das Schrödinger-Bild und führt zu der von Ihnen angegebenen Gleichung. Hier gibt es auch eine Analogie zur klassischen Mechanik, wenn man bedenkt, dass der Hamilton-Operator verwendet werden kann, um einen Hamilton-Fluss im Phasenraum zu definieren, der im Wesentlichen Kurven im Phasenraum sind, parametrisiert durch das, was wir Zeit nennen.
Etwas anders verhält es sich mit der zeitunabhängigen Shrödinger-Gleichung. Wenn Sie die zeitabhängige Gleichung haben und sie lösen möchten, nehmen Sie an, dass die Lösungen in Bezug auf die Zeitabhängigkeit und die Ortsabhängigkeit trennbar sind. Und aus der PDE-Theorie wird das Lösen der Gleichung auf das Lösen der zeitunabhängigen Gleichung durch Trennung von Variablen reduziert.