Gesamtdrehimpuls und Kommutator der Dirac-Gleichung

Um die Notation zu korrigieren, schreibe ich den Hamilton-Operator als$H_D=\int d^d x \,\psi^{\dagger}(x) \gamma^{0} ( \gamma^i (-i \partial_{x^i})+ m )\psi(x)$, Wo$m$ist der Zahlenwert für Masse und$\gamma_{\mu}$erfüllt die Clifford-Algebra. Bitte beachten Sie, dass, obwohl die Anzahl der Komponenten 4 (in (3+1)-D) ist, die wahre Größe des zuerst quantisierten (ein Teilchen) Hamilton-Operators aufgrund des kontinuierlichen Raums tatsächlich unendlich dimensional ist$x_i$.

In dieser Darstellung$J_i=L_i+S_i$,$S_{i}=\epsilon_{ijk}\frac{i}{4} [\gamma_i,\gamma_j]$Und$L_i=\epsilon_{ijk}x_j (-i \partial_k)$(Beachten Sie, dass die zweiten quantisierten Generatoren gegeben sind durch$\hat{J}=\int d^d x \, \psi^{\dagger} J \psi$usw). Man kann die Transformation direkt durchführen und zeigen, dass der Hamilton-Operator unveränderlich ist. Algebraisch ist es leicht zu sehen, warum$L_i$selbst ist keine Symmetrie, weil für eine passive Transformation$\mathcal{R}=e^{i \theta \hat{n} \cdot \hat{L}}$es wird geben

$H_D=\int d^d x \,\psi^{\dagger}(x) \gamma^{0} ( \gamma^i (-i \partial_{(\mathcal{R}x)^i})+ m )\psi(x)$

was anscheinend nicht gleich dem ursprünglichen Hamilton-Operator ist: Man muss auch den Spinor-Teil drehen (den Raum von$\gamma$Matrizen).

Eine andere Möglichkeit zu "verstehen", warum L und S nicht getrennt symmetrisch sein sollten: Die Dirac-Gleichung ist eine irreduzible Spinor-Darstellung, um die Lorentz-Symmetrie zu berücksichtigen. Wenn L und S selbst Symmetriegeneratoren sind, bedeutet dies, dass die vom räumlichen Teil entkoppelten "Spin" -Indizes eine Tensorproduktstruktur haben und keine irreduzible Darstellung sind. Dies gilt für die Rotationssymmetrie des spinful nicht-relativistischen Schrödinger-Feldes

$H_S=\int d^d x \,\psi_{\sigma}^{\dagger}(x) ( \frac{1}{2m} (-i \partial_{x^i})^2+ V(x) )\psi_{\sigma}(x)$

wo der spinor Teil$\sigma$vollständig vom Orbitalteil entkoppelt$x_i$. Im Nachhinein die Form$\gamma^i (-i \partial_{x^i})$sagte uns, dass Spin und Orbital bereits miteinander gekoppelt sind.