Wie messe ich den Spin entlang einer beliebigen Richtung?

Machen Sie eine Runde$1/2$Teilchen, dessen Spin entlang zeigt$\hat{n}$definiert von

$$\hat{n}=(\sin{\phi}\cos{\theta},\sin{\phi}\sin{\theta},\cos{\phi})$$

Wir messen den Spin entlang$\hat{n}$und der dieser Observable entsprechende Operator ist$\vec{S}\cdot\hat{n}$.

$$\vec{S}\cdot\hat{n}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} \cos{\phi} & \sin{\phi}e^{-i\theta} \\ \sin{\phi}e^{i\theta} & -\cos{\phi} \end{pmatrix}$$

Da dies inzwischen als Hausaufgabe abgestempelt wurde, werde ich darauf keine vollständige Antwort geben. Von diesem Punkt an müssen Sie nur noch die Eigenwerte und Eigenvektoren von finden$\vec{S}\cdot\hat{n}$. Nachdem Sie die Eigenvektoren gefunden haben, sollten Sie in der Lage sein, schnell zur gewünschten Wahrscheinlichkeit zu gelangen$\cos^{2}(\phi/2)$.