Sollte es offensichtlich sein, dass unabhängige Quantenzustände zusammengesetzt werden, indem man das Tensorprodukt bildet?

Tolle Frage! Ich glaube nicht, dass hier irgendetwas Offensichtliches im Spiel ist.

In der Quantenmechanik gehen wir davon aus, dass dieser Zustand jedes Systems ein normalisiertes Element eines Hilbert-Raums ist$\mathcal H$. Ich werde die Diskussion der konzeptionellen und mathematischen Einfachheit halber auf Systeme beschränken, die durch endlichdimensionale Hilbert-Räume gekennzeichnet sind.

Jede beobachtbare Größe des Systems wird durch einen selbstadjungierten Operator dargestellt$\Omega$dessen Eigenwerte$\omega_i$sind die Werte, die man nach einer Messung dieser Observablen erhalten kann. Wenn sich ein System im Zustand befindet$|\psi\rangle$, dann, wenn man eine Messung an dem System durchführt, kollabiert der Zustand des Systems auf einen der Eigenvektoren$|\omega_i\rangle$mit Wahrscheinlichkeit$|\langle \omega_i|\psi\rangle|^2$.

Das Spektraltheorem garantiert, dass die Eigenvektoren jeder Observablen eine orthonormale Basis für den Hilbert-Raum bilden, also für jeden Zustand$\psi$kann geschrieben werden als

Nehmen wir nun an, wir haben zwei Quantensysteme auf Hilbert-Räumen$\mathcal H_1$und$\mathcal H_2$mit Beobachtbaren$\Omega_1$und$\Omega_2$beziehungsweise. Wenn wir dann eine Messung an dem kombinierten System beider Observablen vornehmen, dann wird System 1 zu einigen zusammenbrechen$|\omega_{1i}\rangle$und System 2 wird in einen bestimmten Zustand zusammenbrechen$|\omega_{2 j}\rangle$. Es erscheint daher vernünftig zu erwarten, dass der Zustand des kombinierten Systems nach der Messung irgendein solches Paar sein könnte. Darüber hinaus sagt uns das Quantensuperpositionsprinzip, dass jede komplexe lineare Kombination solcher Paarzustände auch ein physikalisch erlaubter Zustand des Systems sein sollte. Diese Überlegungen führen uns natürlich dazu, das Tensorprodukt zu verwenden$\mathcal H_1\otimes\mathcal H_2$zusammengesetztes System zu beschreiben, weil es die Formalisierung der Idee ist, dass der kombinierte Hilbert-Raum aus allen linearen Kombinationen von Zustandspaaren in den konstituierenden Subsystemen bestehen sollte.

Ist das die Art von Motivation für die Verwendung von Tensor-Produkten, nach der Sie gesucht haben?

Ich möchte hier einige weitere theoretische Inhalte zu der hervorragenden Antwort von @joshphysics hinzufügen, da dieses Thema meiner Meinung nach nicht so behandelt wird, wie es verdient hätte, und es mehrere theoretische Ergebnisse zu diesem Thema gibt, die bekannt sein sollten.

Betrachten wir ein Quantensystem$S$im Hilbertraum beschrieben$\cal H$und nehmen Sie an, dass es aus zwei unabhängigen Teilen besteht$S_1$und$S_2$. Wir wollen diskutieren, wann dieses System in einem geeigneten Tensorprodukt dargestellt werden kann$\cal H_1 \otimes \cal H_2$, für einige Hilbert-Räume$\cal H_i$verknüpft mit$S_i$,$i=1,2$.

Im Rest meiner Antwort verwende ich den Begriff des Tensorprodukts nicht als a priori-Beschreibung unabhängiger Teilsysteme, weil ich diskutieren möchte, wann diese Beschreibung machbar ist.

Zunächst einmal die Systeme$S$,$S_1$,$S_2$sind in Bezug auf ihre Observablen abgebildet. Mit einer sehr großen Allgemeinheit können wir annehmen, dass diese Observablen beschränkt sind (die unbeschränkten können als Grenzwert in der starken Operatortopologie aus den beschränkten erhalten werden) und die Mengen der Observablen (einschließlich komplexer Linearkombinationen von Operatoren) abgeschlossen sind bezüglich das Produkt und die Summe und die starke Operatortopologie (dies ist notwendig, um die Standard-Spektralmaschinerie zu implementieren).

Auf diese Weise erhalten wir eine bekannte Struktur namens von Neumann-Algebra der Observablen . Hier gibt es also drei von Neumann-Algebren:$R$verbunden sein mit$S$und$R_i$jeweils zugeordnet$S_i$, zum$i=1,2$.

Die selbstadjungierten Operatoren$A\in R$repräsentieren alle (begrenzten) Observablen des Systems$S$. Ebenso die selbstadjungierten Operatoren$A_i\in R_i$repräsentieren alle (begrenzten) Observablen des Systems$S_i$,$i=1,2$.

Eine typische Situation ist$R = B(\cal H)$, wo$B(\cal H)$bezeichnet die vollständige Algebra beschränkter Operatoren$A: \cal H \to \cal H$(wenn$\cal H$ist endlich dimensionale Begrenztheit ist automatisch). Bei Vorhandensein von Superselektionsregeln oder wenn es eine Eichgruppe gibt, sind jedoch nicht alle selbstadjungierten Operatoren über$\cal H$Observablen darstellen, so die Annahme$R = B(\cal H)$ist grundsätzlich unhaltbar.

Lassen Sie uns diskutieren, wie der Begriff der unabhängigen Subsysteme in diesem Bild dargestellt wird. Es gibt drei Anforderungen

1. $R_i$sind Unterstrukturen von$R$:$R_i \subset R$, zum$i=1,2$,

2. $R_1$und$R_2$sind kompatibel:$[A_1,A_2]=0$wenn$A_1\in R_1$und$A_2\in R_2$,

3. wir können Zustände unabhängig voneinander zuweisen$R_1$und$R_2$gemäß der unten genannten Anforderung$W^*$-Unabhängigkeit

[$W^*$-Unabhängigkeit] . Wenn$T_1$und$T_2$sind statistische Operatoren, die auf die Observablen von wirken$R_1$und$R_2$beziehungsweise ($<A_i>_{T_i} = tr(T_iA_i)$), dann gibt es einen statistischen Operator$T$für das Gesamtsystem (Wirkung auf$R$) so dass

Es gibt viele Implementierungen des Begriffs der Unabhängigkeit beim Festlegen von Zuständen auf Subsystemen, und dies ist der Hilbert-Raumbeschreibung der Quantentheorie eigen.

Unter den Hypothesen (1)-(3) (auch sie schwächend) ergibt sich, dass die Algebra erzeugt wird durch$R_1$und$R_2$(die endliche Summe endlicher Produkte also Elemente in der Vereinigung der Algebren) ist isomorph zu$R_1\otimes R_2$im rein algebraischen Sinne (ohne topologische Implikationen). Dies ist jedoch noch ziemlich weit von dem Standardbild entfernt, in dem auch der Hilbertraum faktorisiert ist$\cal H = \cal H_1 \otimes \cal H_2$und die Algebren$R_1$und$R_2$werden als Algebren von Operatoren in den Faktoren interpretiert$\cal H_1$und$\cal H_2$.

Das Gegenteil ist jedoch wahr, wie ich veranschaulichen werde.

Nehme an, dass$\cal H = \cal H_1 \otimes \cal H_2$so dass$B(\cal H) = B(\cal H_1) \otimes B(\cal H_2)$. Als nächstes reparieren wir

• $R=B(\cal H)$,
• $R_1= B(\cal H_1)\otimes I_2$
• $R_2= I_1 \otimes B(\cal H_1)$

Über$I_k$zeigt den Identitätsoperator an$\cal H_k$. Im Speziellen$A_1 \in R_1$nimmt die Gestalt an$A'_1\otimes I_2$für einige$A'_1 \in B(\cal H_1)$und eine analoge Tatsache gilt für$S_2$.

In diesem Fall sind (1), (2) trivial erfüllt und (3) gilt in noch stärkerem Sinne. Wenn$T_1$fungiert als statistischer Operator über$R_1$es kann immer geschrieben werden als$T'_1\otimes I_2$, für einige statistische Operatoren im Raum$\cal H_1$, das Analoge gilt für$S_2$. Ein Staat$T$befriedigend (3) ist immer$T= T_1'\otimes T'_2$. Dieser Zustand hat eine weitere Eigenschaft (die sich unmittelbar aus den Grundeigenschaften des Tensorprodukts ergibt)

Wir haben bisher gesehen, dass die auf dem Begriff des Tensorprodukts basierende Standarddarstellung unabhängiger Teilsysteme mit den für unabhängige Teilsysteme allgemeingültigen allgemeinen Anforderungen (1),(2),(3) übereinstimmt.

Die natürliche Frage ist umgekehrt, ob die Struktur unabhängiger Teilsysteme (Anforderungen (1)-(3)) immer durch den Begriff des Tensorprodukts realisierbar ist.

Die Antwort ist negativ , da es physikalisch fundamentale Systeme gibt, bei denen der Begriff des Tensorprodukts ungeeignet ist, um unabhängige Subsysteme zu beschreiben. Der vielleicht wichtigste Fall ist der von Observablen eines Quantenfeldes, das in zwei kausal getrennten Regionen der Minkowski-Raumzeit lokalisiert ist. Die zugehörigen von Neumann-Algebren erfüllen (1), (2) und (3), aber im Allgemeinen ist es falsch, dass die von beiden Regionen (dem Gesamtsystem) erzeugte Algebra der Observablen als Tensorprodukt von von Neumann-Algebren über a darstellbar ist entsprechendes Tensorprodukt von Hilberträumen. (Das Tensorprodukt kann verwendet werden, wenn eine bestimmte technische Bedingung namens Split-Eigenschaft erfüllt ist.)

Gibt es hinreichende Bedingungen, die sicherstellen, dass (1), (2), (3) durch die Standardverwendung von Tensorprodukten über einem Tensorprodukt von Hilbert-Räumen implementiert werden können?

Es gibt ein wichtiges Ergebnis von von Neumann, das tatsächlich in fast allen Situationen der Standard-Quantenmechanik (nicht QFT und Thermodynamik erweiterter Systeme) gültig ist.

Nehme an, dass

• (a)$R= B(\cal H)$,
• (b)$R_1$ist ein Typ-I- Faktor
• (c)$R_2$besteht aus allen Operatoren in$R$die mit allen Betreibern einpendeln$R_1$.

(b) verdient eine Erklärung.$R_1$ist ein Faktor, wenn er keine nicht-trivialen Operatoren enthält, die mit allen Operatoren von vertauschen$R_1$(mit anderen Worten, es gibt keine Superselektionsregeln). Der Anforderungstyp I ist technisch und bedeutet dies$R_1$ist algebraisch (nicht unbedingt einheitlich) isomorph zu einigen$B(\cal K)$für etwas Hilbertraum$\cal K$. Diese Bedingung ist immer wahr, wenn$\cal H$ist endlichdimensional und in der QFT falsch, wo Faktoren vom Typ III vorkommen (und dies ist der Grund für das oben erwähnte Versagen der Tensorproduktdarstellung in der QFT).

Unter den Hypothesen (a), (b) und (c) gelten dann (1), (2), (3) und es gibt ein paar Hilbert-Räume$\cal H_1$,$\cal H_2$, ein unitärer Operator$U: \cal H \to \cal H_1 \otimes \cal H_2$so dass$UR_1U^{-1} = B({\cal H_1})\otimes I_2$und$UR_2U^{-1} = I_1 \otimes B(\cal H_1)$.

Dies ist die häufigste Situation, in der der Begriff des Tensorprodukts der grundlegende Baustein zur Beschreibung unabhängiger Teilsysteme ist.

Nein, es ist überhaupt nicht offensichtlich. Die (im Wesentlichen identischen) Antworten hier und hier liefern eine schöne Begründung. Die Schlüsselidee ist, dass, wenn wir nur Messungen an einem einzelnen Subsystem durchführen, sich die Wahrscheinlichkeiten, die sich aus der Born-Regel ergeben, nicht ändern, wenn wir den Zustandsvektor des Subsystems mit einer komplexen Zahl multiplizieren. Das Tensorprodukt ist die einzige Möglichkeit, Subsysteme zu neuen Zustandsvektoren zu kombinieren, die diese Eigenschaft bewahren, wenn wir das gemeinsame System betrachten.

Ich denke, es ist ziemlich offensichtlich. Korrigiert mich, wenn meine Argumentation irgendwo falsch ist.

Im klassischen Fall, wenn man zB die x-Positionen zweier Teilchen beschreiben will, hat man einen zweidimensionalen Phasenraum, um die möglichen Zustände darzustellen – und zwei ist die Summe aus eins und eins. Aber ein Quantenzustandsraum ist sehr unterschiedlich – jeder Punkt im$x_1$"Achse" ist ein eigener Basisvektor, und ebenso für$x_2$-- die Zustandsvektoren, von denen wir sprechen, sind Vektoren im Hilbert-Raum und können als darauf abgebildete Verteilungen dargestellt werden$(x_1,x_2)$Ebene, die sie als Überlagerungen dieser Basisvektoren darstellt.

Es macht also durchaus Sinn, dass die Dimension des Produktraums das Produkt der Dimensionen und nicht die Summe ist. Die Gesamtpunktzahl in der$(x_1,x_2)$Ebene – die die Dimension dieses neuen Hilbert-Raums ist – ist das Produkt der Anzahl der Punkte auf der$x_1$Achse und die$x_2$Achse.

Es ist klar, dass die Wahrscheinlichkeiten multiplikativ sind. Gegebene Zustände$|\phi\rangle=\sum p(x)|x\rangle$und$|\psi\rangle=\sum q(y)|y\rangle$in Basen$|x\rangle$und$|y\rangle$, ist es klar, dass die Magnituden der Komponenten des Staates

Die Idee ist jedoch ganz einfach – nehmen wir an, wir haben einen Staat wie

Da wir zwei unabhängige Systeme darstellen, können wir einfach das erste System beobachten und es zusammenklappen$|x\rangle$: dann wird der kombinierte Zustand basierend auf der linken Seite reduziert$|x\rangle\otimes|z\rangle$. Aber basierend auf der rechten Seite ist dies$u|x\rangle\otimes|z\rangle$, und somit$u=1$und ähnlich für$v$.

Tatsächlich stammt die Geschichte des Tensorprodukts, das in der Welt der Quanteninformation typischerweise als Axiom erzählt wird, aus der relativistischen Elektronentheorie von Dirac.

In der relativistischen Quantenmechanik wird eine Wellenfunktion durch 4 Wellenfunktionen ersetzt, und eine geeignete Kontraktion führt zu einer zweielementigen Anordnung (1,0) oder (0,1), die wir den Spin nennen.

Im Fall von 2 Elektronen führt die gleiche Theorie zu einer 16-Komponenten-Wellenfunktion, und nach einigem Trimmen können wir zu einem 4-Komponenten-Objekt (genannt Pauli-Spinor für 2 Elektronen) gelangen. Dieses Objekt und die verschiedenen Operationen mit dem Hamilton-Operator lassen sich (algebraisch) am besten durch Verwendung des Tensorprodukts der Zustände (1,0) und (0,1) beschreiben.

Offensichtlich entsprechen diese Tensorprodukte Spins, und da die Idee des Qubits von der des Spins herrührt, wird die Idee der Tensorzusammensetzung jetzt axiomatisch in QIP übernommen.