Entkopplung gekoppelter Differentialgleichungen in dynamisch gekoppelten Zweizustandssystemen

Question

Entkopplung gekoppelter Differentialgleichungen in dynamisch gekoppelten Zweizustandssystemen

Rajath Radhakrishnan

Betrachten Sie den folgenden dynamisch gekoppelten Hamiltonian mit zwei Zuständen:

H = - B σ_{z} - v (T) σ_{X} .

$H=-B\sigma_z-V(t)\sigma_x.$ Nimmt man die Eigenfunktionen von

σ_{z}

$\sigma_z$ (

| + >

$|+>$ Und

| - >

$|- >$ ) als Basisvektoren haben wir die Wellenfunktion zu sein

Φ = C_{1} | + > + C_{2} | - >

$\Phi=c_ 1|+>+ c_2|->$ und wir erhalten gekoppelte Differentialgleichungen für die zeitliche Entwicklung dieser beiden Koeffizienten.

[\begin{matrix} \frac{D C_{1}}{D T} \\ \frac{D C_{2}}{D T} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - B & - v (T) \\ - v (T) & B \end{matrix}] \times [\begin{matrix} C_{1} \\ C_{2} \end{matrix}]

$\left[ \begin{array}{c} \frac{dc_1}{dt} \\ \frac{dc_2}{dt} \end{array} \right] = \begin{bmatrix} -B & -V(t) \\ -V(t) & B \end{bmatrix} \times \left[ \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \end{array} \right]$

Um die Gleichungen zu entkoppeln, habe ich versucht, den beteiligten Hamilton-Operator zu diagonalisieren. Aber dann beinhalten die Eigenvektoren selbst eine Zeitabhängigkeit aufgrund von $V(t)$ und daher kann ich die Differentialgleichungen nicht entkoppeln. Gibt es also eine andere Methode? Jeder Hinweis ist willkommen.

Rajath Radhakrishnan

Ich werde die Schritte hinzufügen, die ich bald getan habe. Ich bin es nicht gewohnt, TEX-Befehle zu berechnen, und ich brauche Zeit, um sie abzutippen.

Marsch

Ob die Gleichungen entkoppelt werden können, hängt von der Form ab

V (t)

$V(t)$ . Wenn

V (t)

$V(t)$ ist eine einfache komplexe Exponentialfunktion (was häufig im Zusammenhang mit der Näherung der rotierenden Welle passiert), dann kann es getan werden; wenn es ein Kosinus oder ein Sinus ist, kann es nicht (dies wird das Rabi-Modell genannt, glaube ich). Auf dieser Seite finden Sie Beispiele: siehe hier und hier .

Antworten (1)

Entkopplung gekoppelter Differentialgleichungen in dynamisch gekoppelten Zweizustandssystemen

Ich werde die Schritte hinzufügen, die ich bald getan habe. Ich bin es nicht gewohnt, TEX-Befehle zu berechnen, und ich brauche Zeit, um sie abzutippen.
Ob die Gleichungen entkoppelt werden können, hängt von der Form ab $V(t)$ . Wenn $V(t)$ ist eine einfache komplexe Exponentialfunktion (was häufig im Zusammenhang mit der Näherung der rotierenden Welle passiert), dann kann es getan werden; wenn es ein Kosinus oder ein Sinus ist, kann es nicht (dies wird das Rabi-Modell genannt, glaube ich). Auf dieser Seite finden Sie Beispiele: siehe hier und hier .

udrv · Answer 1

Das System kann getrennt werden, aber nicht unbedingt in schöner Form. Beispielsweise ist die zeitliche Ableitung der ersten Gl. liest

ich ℏ {\ddot{C}}_{1} = - B {\dot{C}}_{1} - \dot{v} C_{2} - v {\dot{C}}_{2}

$i\hbar {\ddot c}_1 = - B {\dot c}_1 - {\dot V}c_2 - V {\dot c}_2$ Jetzt entfernen

c_{2}

$c_2$ unter erneuter Verwendung der ersten Gl.,

C_{2} = - \frac{ich ℏ}{v} {\dot{C}}_{1} - \frac{B}{v} C_{1}

$c_2 = -\frac{i\hbar}{V} {\dot c}_1 - \frac{B}{V} c_1$ Und

{\dot{c}}_{2}

${\dot c}_2$ unter Verwendung der zweiten Gl.,

{\dot{c}}_{2} = \frac{i}{ℏ} V c_{1} - \frac{i}{ℏ} B c_{2}

${\dot c_2} = \frac{i}{\hbar}Vc_1 - \frac{i}{\hbar}B c_2$ :

ich ℏ {\ddot{C}}_{1} = - B {\dot{C}}_{1} + ich ℏ \frac{D \ln v}{D T} {\dot{C}}_{1} + B \frac{D \ln v}{D T} C_{1} - \frac{ich}{ℏ} v^{2} C_{1} + \frac{ich}{ℏ} B v (- \frac{ich ℏ}{v} {\dot{C}}_{1} - \frac{B}{v} C_{1}) = 0

$i\hbar {\ddot c}_1 = - B {\dot c_1} + i\hbar \frac{d\ln V}{dt} {\dot c}_1 + B \frac{d\ln V}{dt} c_1 - \frac{i}{\hbar}V^2c_1 + \frac{i}{\hbar} BV\left(-\frac{i\hbar}{V} {\dot c}_1 - \frac{B}{V} c_1\right) = 0$ Vereinfachen, neu anordnen und erhalten

{\ddot{C}}_{1} - \frac{D \ln v}{D T} {\dot{C}}_{1} + [\frac{ich}{ℏ} B \frac{D \ln v}{D T} + \frac{B^{2} + v^{2}}{ℏ^{2}}] C_{1} = 0

${\ddot c}_1 - \frac{d\ln V}{dt} {\dot c}_1 + \left[\frac{i}{\hbar}B\frac{d\ln V}{dt} + \frac{B^2 + V^2}{\hbar^2} \right]c_1 = 0$ Ähnlich für

c_{2}

$c_2$ .

Besserer Weg :

Wechsel von $c_1$ , $c_2$ Zu

C_{+} = C_{2} + C_{1} C_{-} = C_{2} - C_{1}

$c_+ = c_2 + c_1\\ c_- = c_2 - c_1$ so dass das System wird

ich ℏ {\dot{C}}_{+} = - v (T) C_{+} + B C_{-} ich ℏ {\dot{C}}_{-} = B C_{+} + v (T) C_{-}

$i\hbar {\dot c}_+ = -V(t) c_+ + B c_-\\ i\hbar {\dot c}_- = B c_+ + V(t) c_-\\$ Anwendung des gleichen Eliminierungsverfahrens für

c_{-}

$c_-$ , diesmal mit

C_{-} = \frac{ich ℏ}{B} {\dot{C}}_{+} + \frac{v}{B} C_{+} {\dot{C}}_{-} = - \frac{ich}{ℏ} B C_{+} - \frac{ich}{ℏ} v C_{-} = - \frac{ich}{ℏ} B C_{+} - \frac{ich}{ℏ} v [\frac{ich ℏ}{B} {\dot{C}}_{+} + \frac{v}{B} C_{+}] = \frac{v}{B} {\dot{C}}_{+} - \frac{ich}{ℏ} \frac{B^{2} + v^{2}}{B} C_{+}

$c_- = \frac{i\hbar}{B}{\dot c}_+ + \frac{V}{B}c_+\\ {\dot c_-} = - \frac{i}{\hbar}Bc_+ - \frac{i}{\hbar}Vc_- = - \frac{i}{\hbar}Bc_+ - \frac{i}{\hbar}V\left[\frac{i\hbar}{B}{\dot c}_+ + \frac{V}{B}c_+\right] = \frac{V}{B}{\dot c}_+ - \frac{i}{\hbar}\frac{B^2 + V^2}{B}c_+$ ergibt eine viel einfacher aussehende Gl. für

c_{+}

$c_+$ :

{\ddot{C}}_{+} - \frac{ich}{ℏ} \dot{v} C_{+} - \frac{ich}{ℏ} v {\dot{C}}_{+} + \frac{ich}{ℏ} B {\dot{C}}_{-} = 0 {\ddot{C}}_{+} - \frac{ich}{ℏ} \dot{v} C_{+} - \frac{ich}{ℏ} v {\dot{C}}_{+} + \frac{ich}{ℏ} v {\dot{C}}_{+} + \frac{B^{2} + v^{2}}{ℏ^{2}} C_{+} = 0 {\ddot{C}}_{+} + [\frac{B^{2} + v^{2}}{ℏ^{2}} - \frac{ich}{ℏ} \dot{v}] C_{+} = 0

${\ddot c}_+ - \frac{i}{\hbar}{\dot V}c_+ - \frac{i}{\hbar} V {\dot c}_+ + \frac{i}{\hbar} B {\dot c}_- = 0 \\ {\ddot c}_+ - \frac{i}{\hbar}{\dot V}c_+ - \frac{i}{\hbar} V {\dot c}_+ + \frac{i}{\hbar} V {\dot c}_+ +\frac{B^2 + V^2}{\hbar^2}c_+ = 0\\ {\ddot c}_+ + \left[\frac{B^2 + V^2}{\hbar^2} - \frac{i}{\hbar}{\dot V} \right]c_+ = 0$

Danke. Ich habe versucht, dies zu tun, seit ich diese Frage gestern gepostet habe. Jetzt sind die Dinge klar.
Willkommen. Ein besseres Formular hinzugefügt, aber ich habe das nagende Gefühl, dass ich einmal eine genaue Lösung für dieses Problem gesehen habe, aber ich kann mich nicht erinnern, wo oder was ich gerade vermisse.

Entkopplung gekoppelter Differentialgleichungen in dynamisch gekoppelten Zweizustandssystemen

Rajath Radhakrishnan

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