Warum kommt das sss (und mmm) aus dem Eigenzustand ∣∣s,m⟩|s,m⟩\big |s,m \big > aus dem Zustand heraus und zusammen mit ℏℏ\hbar in den Eigenwert?

Was passiert ist, dass wir Zustände durch ihre Eigenwerte kennzeichnen. Per Definition der Staat$|\psi\rangle$so dass$S^2 |\psi\rangle = s(s+1) \hbar^2 |\psi\rangle$Und$S_z |\psi\rangle = m \hbar |\psi\rangle$wird mit bezeichnet$|s, m\rangle$anstatt$|\psi\rangle$. Es ist nur eine Notation, aber es ist sehr hilfreich, weil wir die Verwendung redundanter Namen wie vermeiden$\psi$: Der Eigenwert ist alles, was wir über den Zustand wissen müssen, also verwenden wir ihn als Namen.

Sie haben Recht, dass die Staaten, die wir anrufen$|1/2, \pm 1/2\rangle$sind genau die gleichen wie die$|\pm \hat{\mathbf{z}}\rangle$. Bei letzterem ist die Tatsache, dass der Gesamtspin$s$Ist$1/2$ist implizit; wie Sie sagten, wenn wir allgemeinere Werte haben wollen$s$wir müssen sagen, was es ist.

Dies ist einer der Gründe, warum die Dirac-Notation so schön ist, weil wir hässliche Namen wie vermeiden$v_{s,m}$und verwenden Sie stattdessen einfach die$|\ \rangle$um anzuzeigen, dass etwas ein Vektor ist, und dann alles, was wir wollen, in die Klammer zu setzen. Wir stoßen jedoch auf ein kleines Problem, wenn wir es verwenden möchten$S_x$anstatt$S_z$zu kennzeichnen heißt, weil die Tatsache, dass$m$ist der Eigenwert von$S_z$ist implizit. In diesem Fall müssten wir den Leser entweder davor warnen$m$wird für den Eigenwert von stehen$S_x$(ohne das$\hbar$) oder verwenden Sie die Notation like$|s,m_x\rangle$. Auch dies ist Teil des Schönen an der ganzen Sache: Sie können in die Klammer schreiben, was Sie wollen. Sie werden sogar Leute sehen, die Dinge schreiben wie$|\text{alive}\rangle$Und$|\text{dead}\rangle$wenn es um Quantenkatzen geht.