Rotation von Drehimpuls-Eigenfunktionen?

Question

Rotation von Drehimpuls-Eigenfunktionen?

SuperCiocia

Ich habe Mühe, dieses scheinbar offensichtliche Beispiel in meinen Anmerkungen zur Gruppentheorie zu verstehen:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Wo tun die $e^{i\phi}$ Und $e^{-i\phi}$ Faktoren kommen?

Ich weiß, dass die $m_l$ = -1,0 und +1 Drehimpuls-Eigenzustände haben $\phi$ Abhängigkeit in einen komplexen Exponentialfaktor der gleichen Form eingebaut ... Aber sollte die $\phi$ gibt es eine Variable? Im Gegensatz zu einem festen Drehwinkel?

Kyle Kanos

hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hydazi.html#c2

JoshPhysik

Können Sie erklären, was Sie damit meinen: "Aber sollte das ϕ dort eine Variable sein? Im Gegensatz zu einem festen Drehwinkel?"

Kyle Kanos

Technisch gesehen ist es das tatsächlich

\exp [- i m_{ℓ} ϕ]

$\exp[-im_\ell\phi]$ Wo

m_{ℓ} \in (- 1, 0, 1)

$m_\ell\in(-1,0,1)$ .

Adam

Ich glaube, Sie verwechseln die Variable von

Y_{l m} (θ, ϕ)

$Y_{lm}(\theta,\phi)$ und der (feste) Drehwinkel (hier

Y_{l m} (θ, ϕ) = ⟨ θ, ϕ | l, m ⟩

$Y_{lm}(\theta,\phi)=\langle \theta,\phi|l,m\rangle$ ). Lassen Sie uns Ihre Frage mit einer Winkeldrehung neu formulieren

α = - φ

$\alpha=-\varphi$ (

ϕ

$\phi$ ist eine Variable, wohingegen

φ

$\varphi$ ist der Rotationsparameter). Dann ist die Rotation der Wellenfunktion gegeben durch

Y_{l m} (θ, ϕ) \to e^{- i m φ} Y_{l m} (θ, ϕ)

$Y_{lm}(\theta,\phi)\to e^{-im\varphi}Y_{lm}(\theta,\phi)$ .

Antworten (1)

Rotation von Drehimpuls-Eigenfunktionen?

Können Sie erklären, was Sie damit meinen: "Aber sollte das ϕ dort eine Variable sein? Im Gegensatz zu einem festen Drehwinkel?"
Technisch gesehen ist es das tatsächlich $\exp[-im_\ell\phi]$ Wo $m_\ell\in(-1,0,1)$ .
Ich glaube, Sie verwechseln die Variable von $Y_{lm}(\theta,\phi)$ und der (feste) Drehwinkel (hier $Y_{lm}(\theta,\phi)=\langle \theta,\phi|l,m\rangle$ ). Lassen Sie uns Ihre Frage mit einer Winkeldrehung neu formulieren $\alpha=-\varphi$ ( $\phi$ ist eine Variable, wohingegen $\varphi$ ist der Rotationsparameter). Dann ist die Rotation der Wellenfunktion gegeben durch $Y_{lm}(\theta,\phi)\to e^{-im\varphi}Y_{lm}(\theta,\phi)$ .

JeffDror · Answer 1

Ein Drehimpuls-Eigenzustand kann gedreht werden mit

| J, M ⟩ \to e^{ich \vec{S} \cdot \vec{θ}} | J, M ⟩

$\begin{equation} \left| J , m \right\rangle \rightarrow e ^{ i {\vec S} \cdot {\vec \theta} } \left| J , m \right\rangle \end{equation}$ Wo

\vec{S}

${\vec S}$ ist der

2 J + 1

$2J+1$ dimensionale Pauli-Matrizen. Zum Schleudern

1 / 2

$1/2$ Zum Beispiel,

\vec{S}

${\vec S}$ sind nur die gewöhnlichen Pauli-Matrizen,

\frac{1}{2} \vec{σ}

$\frac{1}{2} {\vec\sigma}$ . Der Vektor

θ

$\theta$ parametriert die Drehung. Abhängig von der Dimensionalität des Wertes von

J

$J$ die Dimensionalität von

\vec{S}

${\vec S}$ ist anders.

Zum Schleudern $1$ , Die $S$ Matrizen sind:

S_{X} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}), S_{j} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{array}{ccc} 0 & - ich & 0 \\ ich & 0 & - ich \\ 0 & ich & 0 \end{array}), S_{z} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array})

$\begin{equation} S _x = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right) , \quad S _y = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{ccc} 0 & - i & 0 \\ i & 0 & - i \\ 0 & i & 0 \end{array} \right) , \quad S _z = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right) \end{equation}$

Unter einer Drehung nur in der $z$ Richtung ( ${\vec \theta} = (0,0, \phi )$ ) brauchen wir nur $S _z$ und wir haben,

| 1, M_{J} ⟩ \to e^{ich S_{z} ϕ} | 1, M ⟩

$\begin{equation} \left| 1 , m _j \right\rangle \rightarrow e ^{ i S _z \phi } \left| 1 , m \right\rangle \end{equation}$ Seit

S_{z}

$S _z$ ist diagonal, es ist trivial zu potenzieren,

e^{ich S_{z} ϕ} = (\begin{array}{ccc} e^{ich ϕ} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & e^{- ich ϕ} \end{array})

$\begin{equation} e ^{i S _z \phi } = \left( \begin{array}{ccc} e ^{ i \phi } & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & e ^{ - i \phi } \end{array} \right) \end{equation}$ Geben Sie die Transformation, die Sie wollen.

Rotation von Drehimpuls-Eigenfunktionen?

SuperCiocia

Kyle Kanos

JoshPhysik

Kyle Kanos

Adam

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JeffDror

Verwendung von Symmetrie zur Bestimmung der Zerfallsroute eines Wasserstoffelektrons von |300⟩|300⟩|300\rangle bis |100⟩|100⟩|100\rangle

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