Warum werden SU(2)SU(2)SU(2)-Generatoren als *räumliche* Komponenten des Spins interpretiert?

Ein$SU(2)$Symmetrie hat a priori absolut nichts mit räumlichen Rotationen zu tun. Beispielsweise wird die Symmetrie zwischen Protonen und Neutronen durch Isospin, an beschrieben$SU(2)$Symmetrie, die das Proton und Neutron genauso behandelt wie die Spin-Up- und Spin-Down-Zustände eines Spins$1/2$Partikel. Ebenso gibt es einen schwachen Isospin, der auch von beschrieben wird$SU(2)$, die das Elektron mit dem Elektron Neutrino in Beziehung setzt. Keines davon hängt mit Rotationen zusammen, außer dass die Mathematik dieselbe ist; Sie können keine physikalische Rotation ausführen, um ein Proton in ein Neutron zu verwandeln. (Die Analogie mit Spin ist jedoch so nützlich, um sich vorzustellen, was vor sich geht, dass sie alle das Wort „Spin“ in ihren Namen haben.)

Wenn in einem Lehrbuch steht: „Wir haben eine identifiziert$SU(2)$Symmetrie, also muss es physikalisch der Rotationssymmetrie entsprechen", dann ist dieses Buch schlampig. Das Argument sollte umgekehrt formuliert werden. Unten werde ich zeigen, wie das sehr explizit geht.

Wir beginnen mit experimentellen Daten, die wir verstehen wollen. Angenommen, wir möchten die Präzession des magnetischen Dipolmoments eines Kerns in einem zeitlich veränderlichen Magnetfeld modellieren. (Es stellt sich heraus, dass dieses Dipolmoment proportional zum Spin ist, also fragen Sie genau danach.) Um ein quantenmechanisches Modell zu erstellen, müssen wir einen Hilbert-Raum und einen Hamilton-Operator sowie Operatoren definieren$\mu_i$entsprechend den Komponenten des magnetischen Dipolmoments.

Natürlich gibt es dafür kein eindeutiges mathematisches Rezept. Sie können beispielsweise den Hilbert-Raum als nulldimensional auswählen, aber dann würde er eindeutig nicht zu den Daten passen. Es stellt sich heraus, dass das Modell für einige Kerne funktioniert, wenn wir den Hilbert-Raum mit den Zuständen zweidimensional wählen$|\uparrow\rangle$Und$|\downarrow\rangle$entsprechend dem senkrecht nach oben und unten gerichteten Dipolmoment. Mit anderen Worten, dies definiert$\mu_z$als

Als Nächstes definieren wir Rotationsoperatoren, die das System physisch drehen. Wir wissen, dass die Rotationen des Raums klassischerweise eine Gruppe bilden$SO(3)$. Aufgrund von Problemen mit Quantenphasen bedeutet dies, dass die Rotationsoperatoren notwendigerweise eine Darstellung der Gruppe sein müssen$SU(2)$. Das ist ein bisschen seltsam, aber etwas, an das man sich nach einer Weile gewöhnt – es gibt im Allgemeinen ein mathematisches Verfahren, um herauszufinden, welche Gruppe im Quantenfall verwendet werden soll.

Wir wissen jedoch immer noch nicht, welche Darstellung von$SU(2)$es ist. Zum Beispiel könnten die Rotationsoperatoren möglicherweise alle nichts tun – das ist genau die richtige Wahl für die Isospin-Symmetrie (die Spins von Proton und Neutron ignorieren), weil Sie ein Proton nicht in ein Neutron drehen können. Aber es ist nicht die richtige Wahl für die magnetischen Momente, denn wir können beobachten, dass das Kippen des Magneten und das erneute Ausführen des Experiments ein anderes Ergebnis liefern.

Wir wissen auch, dass eine Rotation über die$z$Achse sollte beheben$|\uparrow \rangle$Und$|\downarrow \rangle$, wieder durch Beobachtung, während$180^\circ$Drehungen um die$x$Und$y$Achsen sollten diese Zustände austauschen. (Alles hier ist nur bis zu Phasen.) Wir können nicht weiter fortfahren und explizite Ausdrücke erhalten, da sie je nach den Phasen der Zustände variieren. Aber in den Standardphasenkonventionen kann man mit dieser Logik fortfahren, um zu zeigen, dass die$\mu_i$Operatoren müssen alle proportional sein$\sigma_i$, und die Rotationsoperatoren sind Exponentiale von$\sigma_i$. Dies ist hier ausführlich beschrieben .

Dies ist ein ziemlich langes und sehr explizites Argument, um einen einfachen Punkt klarzustellen: In der Physik machen wir nicht blind Mathematik und setzen die physikalische Interpretation am Ende ein. Wir beginnen mit einem physikalischen System, das wir beschreiben wollen und definieren mathematische Objekte entsprechend. Wir wissen, dass Drehungen beschrieben werden müssen durch$SU(2)$nach allgemeinen Prinzipien, also definieren wir einen Hilbert-Raum mit einer Darstellung von$SU(2)$. Welcher? Was auch immer funktioniert.

Die Logik ist wie folgt:

1. $SU(2)\cong SPIN(3)$.

2. Allgemeiner,$G:=SPIN(n)$ist die doppelte Abdeckung der Rotationsgruppe$SO(n)$.

3. $G$wirkt über die adjungierte Darstellung auf ihre Lie-Algebra$\mathfrak{g}:=\mathfrak{so}(n)$.

4. Jedes Element der Lie-Algebra$\mathfrak{g}:=\mathfrak{so}(n)$erzeugt eine infinitesimale Rotation, dh es ist ein Drehimpuls.

5. Die Lie-Algebra$\mathfrak{g}:=\mathfrak{so}(n)\cong \bigwedge^2 V$kann mit der Menge der 2-Ebenen (dh Rotationsebenen) in identifiziert werden$n$-Raum$V\cong \mathbb{\mathbb{R}^n}$. Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

6. Für$n=3$, wir haben$\bigwedge^2 V\cong V$, dh die Elemente von$\mathfrak{su}(2)\cong\mathfrak{so}(3)$kann mit 3-Leerzeichen identifiziert werden$V$selbst.