Wie kann man sehen, dass das Wasserstoffatom SO(4)SO(4)SO(4)-Symmetrie hat?

Der Hamiltonoperator für das Wasserstoffatom

$$H = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} - \frac{k}{r}$$ beschreibt ein Elektron in einem zentralen $1/r$Potenzial. Dies hat die gleiche Form wie das Kepler-Problem, und die Symmetrien sind ähnlich. Es gibt ein offensichtliches $SO(3)$durch den Drehimpuls erzeugt $\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$. Mit anderen Worten, die Komponenten von $\mathbf{L}$erfüllen $$[L_i,L_j] = i \hbar \epsilon_{ijk}L_k .$$ Eine subtilere Symmetrie ist durch den Laplace-Runge-Lenz-Vektor gegeben $$\mathbf{A} = \frac{1}{2m} ( \mathbf{p} \times \mathbf{L} - \mathbf{L} \times \mathbf{p}) - k \frac{\mathbf{r}}{r}.$$ Die Vertauschungsbeziehungen mit $\mathbf{L}$und $\mathbf{A}$sind $$[L_i,A_j] = i\hbar \epsilon_{ijk} A_k \\ [A_i,A_j] = -i\hbar\epsilon_{ijk} \frac{2H}{m} L_k .$$ Bis zur Normalisierung von $\mathbf{L}$dies sind die Vertauschungsbeziehungen von $SO(4)$. (Hier gehe ich davon aus, dass wir einen gebundenen Zustand betrachten, dessen Energie $E$ist negativ. Wenn $E>0$Die obige Beziehung erzeugt einen nicht kompakten $SO(3,1)$Symmetrie.)

Außerdem beides$\mathbf{L}$und$\mathbf{A}$pendeln mit dem Hamiltonian,

$$[H,L_i] = 0, \qquad [H,A_i] = 0$$ was zeigt, dass sie tatsächlich Symmetrien des Wasserstoffatoms erzeugen.

Ich wollte die obigen Antworten ergänzen. Für 1)$so(4) = so(3) \times so(3)$, eines$so(3)$ist von der geometrischen 3D-Symmetrie des Hamilton-Operators und der andere$so(3)$ist ab der möglichen Laufzeit von$\frac{k}{r}$.

Für 2). der Zweite$so(3)$Symmetrie ist eine dynamische Symmetrie und gilt nur, wenn der Potentialterm umgekehrt proportional zu ist$r$. Man muss rechnen, um es zu finden.