SO(4,2)SO(4,2)SO(4,2) Symmetrie des Wasserstoffatoms

$SO(4,2)$wird die vollständige dynamische Gruppe des Kepler- (oder Wasserstoffatomproblems) genannt. Der$SO(4)$,$SO(3,2)$Und$SO(4,1)$Untergruppen von$SO(4,2)$werden als partielle dynamische Gruppen bezeichnet.

Im Gegensatz zu Symmetriegruppen, die mit dem Hamilton-Operator pendeln, tun dynamische Gruppen dies nicht. Sie haben folgende Eigenschaften:

1. Der Phasenraum des Systems ist eine koadjungierte Umlaufbahn der Gruppe oder äquivalent

2. Der Hilbert-Raum des Systems wird durch eine irreduzible Darstellung der Gruppe aufgespannt.

3. In vielen Fällen, obwohl es nicht notwendig ist, ist der Hamiltonoperator selbst ein Generator der dynamischen Gruppe.

Die Äquivalenz der obigen Punkte 1. und 2. ergibt sich aus der Tatsache, dass im untersuchten Fall eine Übereinstimmung zwischen koadjungierten Bahnen und irreduziblen Darstellungen besteht.

Die partiellen dynamischen Gruppen überspannen durch ihre irreduziblen Darstellungen nur einen Teil des Wasserstoffatomspektrums:

Ein$SO(4)$irreduzible Darstellung umfasst die Zustandsvektoren, die einer einzelnen Energiehülle eines gebundenen Zustands entsprechen (fest (und quantisiert))$n$und variieren$l$,$m$) .

Ein$SO(3,2)$irreduzible Darstellung umfasst das gesamte kontinuierliche Spektrum und eine irreduzible Darstellung von$SO(4,1)$umfasst das gesamte gebundene Spektrum.

$SO(4,2)$ist die kleinste Gruppe, deren irreduzible Darstellungen sowohl das kontinuierliche als auch das diskrete Spektrum umfassen.

Die Verwendung dynamischer Gruppendarstellungen reduziert das Problem des Auffindens des Hamilton-Spektrums auf ein algebraisches Problem anstelle einer Lösung von Differentialgleichungen.