Größe von Positronium

Question

Größe von Positronium

Tarrare

Positronium besteht aus einem Elektron und einem Positron. Um welchen Faktor ist ein Positroniumatom größer als ein Wasserstoffatom?

Die Lösung wurde mir erklärt. Die charakteristische Länge beim Auflösen nach den Energieniveaus des Wasserstoffatoms ist der Bohr-Radius:

A_{0} \equiv \frac{4 π ϵ_{0} ℏ^{2}}{μ e^{2}}

$a_0 \equiv \frac{4 \pi \epsilon_0 \hbar^2}{\mu e^2}$

Für Positronium können wir die reduzierte Masse berechnen, $\mu$ :

μ = \frac{M_{1} M_{2}}{M_{1} + M_{2}} = \frac{M_{e} M_{e}}{M_{e} + M_{e}} = \frac{1}{2} M_{e}

$\begin{equation} \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{m_e m_e}{m_e + m_e} = \frac{1}{2}m_e \end{equation}$

was eine reduzierte Masse von etwa der Hälfte von Wasserstoff ergibt. Daher ist der Bohr-Radius für Positronium fast doppelt so groß wie der von Wasserstoff.

Dies ist jedoch der Abstand zwischen den beiden Teilchen und nicht das Rotationszentrum des Elektrons. Die Größe des Atoms ist doppelt so groß, da das Atom symmetrisch ist, was bedeutet, dass ein Positroniumatom tatsächlich die gleiche Größe wie ein Wasserstoffatom hat.

Meine Frage ist:

Bedeutet dies, dass ein Atom von beispielsweise Myonium auch die gleiche Größe wie ein Wasserstoffatom haben wird, oder war das Positroniumatom ein Sonderfall, weil die beiden Teilchen genau dieselbe Masse haben?

Wenn wir rechnen $\mu$ für Myonium erhalten wir einen Wert von

μ = \frac{M_{1} M_{2}}{M_{1} + M_{2}} = \frac{M_{μ} M_{e}}{M_{μ} + M_{e}} = 0,995 M_{e}

$\begin{equation} \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{m_\mu m_e}{m_\mu + m_e} = 0.995 m_e \end{equation}$

So ist der Bohr-Radius für ein Myoniumatom $\frac{1}{0.995} = 1.005$ mal größer als die eines Wasserstoffatoms.

Aber das ist wiederum eher der Abstand zwischen den beiden Teilchen als die Größe des Atoms.

Also multiplizieren wir mit $\frac{\mu}{m_e}$ erneut, um den Abstand des Elektrons zum Schwerpunkt des Systems zu erhalten (wie wir es für Positronium getan haben). Am Ende heben wir unseren vorherigen Faktor von auf $\frac{1}{\mu}$ , was uns das Ergebnis gibt, dass Myonium die gleiche Größe wie Wasserstoff hat.

Das scheint falsch!

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

Die (ziemlich korrekte) Erklärung, die Ihnen für die relative Größe von Positronium gegeben wurde, konzentriert sich auf die reduzierte Masse, richtig? Wie hängt also die reduzierte Masse von den beteiligten Teilchen ab? Sicherlich ist dies etwas, was Sie für ein Myoniumatom berechnen können.

Tarrare

Ich habe der Frage mehr Arbeit hinzugefügt. Ich bekomme das gleiche Ergebnis wie zuvor – Myonium hat die gleiche Größe wie Wasserstoff. Die Vorstellung, dass die Größe eines Atoms nicht von der Masse des Elektrons oder Kerns abhängt, scheint kontraintuitiv. Ich betrachte den physikalischen Fall, wenn wir den Kern sehr leicht machen. Es bewegt sich eindeutig sehr weit vom Elektron weg, was bedeutet, dass das Atom sehr groß werden sollte.

Emilio Pisanty

Sollte Ihre Berechnung für die reduzierte Masse von Myonium nicht die Protonenmasse anstelle der Elektronenmasse verwenden?

Jiminion

Ist Positronium entstanden?

anna v

@Jiminion siehe en.wikipedia.org/wiki/Positronium#History

Antworten (1)

Größe von Positronium

Die (ziemlich korrekte) Erklärung, die Ihnen für die relative Größe von Positronium gegeben wurde, konzentriert sich auf die reduzierte Masse, richtig? Wie hängt also die reduzierte Masse von den beteiligten Teilchen ab? Sicherlich ist dies etwas, was Sie für ein Myoniumatom berechnen können.
Ich habe der Frage mehr Arbeit hinzugefügt. Ich bekomme das gleiche Ergebnis wie zuvor – Myonium hat die gleiche Größe wie Wasserstoff. Die Vorstellung, dass die Größe eines Atoms nicht von der Masse des Elektrons oder Kerns abhängt, scheint kontraintuitiv. Ich betrachte den physikalischen Fall, wenn wir den Kern sehr leicht machen. Es bewegt sich eindeutig sehr weit vom Elektron weg, was bedeutet, dass das Atom sehr groß werden sollte.
Sollte Ihre Berechnung für die reduzierte Masse von Myonium nicht die Protonenmasse anstelle der Elektronenmasse verwenden?

Wladimir Kalitwjanski · Answer 1

Sehen wir uns an, wie der Begriff der „Elektronenwolke“ in die Berechnungen einfließt . In erster Bornscher Näherung wird die elastische Streuung mit dem atomaren Formfaktor bestimmt $F$ enthält die reduzierte Masse in der Wellenfunktion und die "Elektronenkoordinate" in der Exponentialfunktion:

D σ \propto | Z F (Q) - F (Q) |^{2}, (1)

$d\sigma\propto|Zf(\mathbf{q})-F(\mathbf{q})|^2,\qquad (1)$

F (Q) = \int | ψ (R_{A}) |^{2} e^{- ich Q R_{A} (1 - M_{e} / M_{A})} D^{3} R_{A}, (2)

$F(\mathbf{q})=\int |\psi(\mathbf{r}_a)|^2 e^{-i\mathbf{q}\mathbf{r}_a(1-m_e/M_A)}d^3r_a,\qquad (2)$

F (Q) = \int | ψ (R_{A}) |^{2} e^{ich \frac{M_{e}}{M_{A}} Q R_{A}} D^{3} R_{A}, (3)

$f(\mathbf{q})=\int |\psi(\mathbf{r}_a)|^2 e^{i\frac{m_e}{M_A}\mathbf{q}\mathbf{r}_a}d^3r_a,\qquad (3)$ Wo

r_{a}

$\mathbf{r}_a$ ist der relative Abstand zwischen dem Elektron und dem Kern. Formfaktor

F

$F$ beschreibt die negative Ladungswolke und den Formfaktor

f

$f$ beschreibt die positive Ladungswolke. So interagiert ein schnell aufgeladenes Projektil mit dem System und „sieht“ seine Größe.

Derselbe Wirkungsquerschnitt kann ebenso über ein effektives Potential ausgedrückt werden

U (R) = \int | ψ (R_{A}) |^{2} v (R, R_{A}) D^{3} R_{A}, (4)

$U(\mathbf{r})=\int|\psi(\mathbf{r}_a)|^2V(\mathbf{r},\mathbf{r}_a)d^3r_a,\qquad (4)$ was auch von der reduzierten Masse abhängt:

D σ \propto {| \int U (R) e^{- ich Q R} D^{3} R |}^{2}, (5)

$d\sigma\propto\left|\int U(\mathbf{r})e^{-i\mathbf{q}\mathbf{r}}d^3r\right|^2,\qquad (5)$ Wo

r

$\mathbf{r}$ ist der Abstand zwischen dem Projektil und dem Massenmittelpunkt des Ziels. Spielen mit

μ

$\mu$ hilft zu verstehen, womit wir (oder die geladenen Projektile) zu tun haben, ohne künstliche Größendefinitionen. Beispielsweise ist im Falle eines "leichten" Kerns die Atomgröße in der Tat groß, da sie mit diesen Formeln bestimmt wird.

Die erste Bornsche Näherung ist hier wesentlich, um mit der ungestörten Atomwellenfunktion umzugehen. Bei einem langsamen Projektil polarisiert das Atom und seine "Größe" ändert sich während der Streuung.

Sicherlich wird die Systemgröße eines Atoms durch den Radius der Elektronenwolke bestimmt. Es scheint mir, dass der Radius der Elektronenwolke eher mit dem Abstand vom Massenmittelpunkt skaliert als mit dem charakteristischen relativen Abstand. Diese mögen für Wasserstoff ziemlich gleich sein, aber nicht so sehr für Positronium und Myonium.
@ Tarrare: Die Wolke skaliert in einer Entfernung für ihn : So interagiert ein schnell aufgeladenes Projektil mit dem System und "sieht" seine Größe . Eine andere Größe gibt es nicht.

Größe von Positronium

Tarrare

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

Tarrare

Emilio Pisanty

Jiminion

anna v

Antworten (1)

Wladimir Kalitwjanski

Tarrare

Benutzer46925

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