Wie groß ist der zu erwartende Abstand des Elektrons vom Kern im Wasserstoffatom?

Question

Wie groß ist der zu erwartende Abstand des Elektrons vom Kern im Wasserstoffatom?

Brian Bi

Insbesondere würde ich gerne die allgemeine Formel in Bezug auf wissen $n$ Und $l$ , vorausgesetzt, das Elektron befindet sich in einem Orbital (dh simultaner Eigenzustand von $H$ , $L^2$ , Und $L_z$ ).

Ich verstehe, dass es um die Integration eines zugehörigen Laguerre-Polynoms geht, aber ich konnte die Formel für das Integral nicht finden. Ich habe auf Wikipedia und in Abramowitz & Stegun nachgesehen, aber kein Glück.

Ali Gajani

Was meinen Sie. 0,53 Angström ? Bohr-Radius

Brian Bi

Das gilt nur für

n = 1

$n=1$

Antworten (4)

Wie groß ist der zu erwartende Abstand des Elektrons vom Kern im Wasserstoffatom?

Jakob Wagner · Answer 1

Es gibt etwas, das als Kramers-Rekursionsregel bezeichnet wird, und ich denke, es ist das, wonach Sie suchen.

\frac{k + 1}{N^{2}} ⟨ R^{k} ⟩ - \frac{A_{0}}{Z} (2 k + 1) ⟨ R^{k - 1} ⟩ + \frac{k A_{0}^{2}}{4 Z^{2}} ({(2 l + 1)}^{2} - k^{2}) ⟨ R^{k - 2} ⟩,

$\frac{k+1}{n^2} \left\langle r^k \right\rangle - \frac{a_0}{Z} \left(2k+1\right)\left\langle r^{k-1} \right\rangle + \frac{k a_0^2}{4Z^2} \left( \left(2l+1\right)^2 - k^2 \right) \left\langle r^{k-2} \right\rangle,$

Wo $k$ ist ganzzahlig und $a_0$ Bohr-Radius. Zum Ableiten $\left\langle r \right\rangle$ du musst rechnen $\left\langle r^{-1} \right\rangle$ zunächst durch Einstellung $k=0$ und dann kannst du einstellen $k=1$ und berechnen $\left\langle r \right\rangle$ . Und natürlich weißt du es $\left\langle r^{0} \right\rangle = 1$ .

Das Ergebnis ist

⟨ R ⟩ = \frac{A_{0}}{2 Z} (3 N^{2} - l (l + 1)) .

$\left\langle r \right\rangle = \frac{a_0}{2Z}\left(3n^2-l\left(l+1\right)\right).$

Benutzer41298 · Answer 2

⟨ R ⟩_{N, l, M} = \frac{A_{0} N^{2}}{Z} [1 + \frac{1}{2} (1 - \frac{l (l + 1)}{N^{2}})] .

$\langle r\rangle_{n,l,m}=\frac{a_0n^2}{Z}\left[1+\frac{1}{2}\left(1-\frac{l(l+1)}{n^2}\right)\right].$

Quelle: McQuarrie, Quantenchemie .

Leider erwähnt das Buch keine :( Aber im Prinzip scheint es nicht zu schwer zu sein, vorausgesetzt, wir kennen die allgemeine Form des Laguerre-Polynoms (da die Winkelteile einfach herausfallen)

George McBane · Answer 3

Bethe und Salpeter leiten in Quantum Mechanics of One- and Two-Electron Atoms (Academic Press, 1957) einen allgemeinen Ausdruck für bestimmte Integrale der zugehörigen Laguerre-Funktionen mal abklingende Exponentiale mal Potenzen des Laguerre-Arguments auf den Seiten 13 und 14 ab. Sie verwenden diesen Ergebnis, um das oben von Wagner angegebene Ergebnis zu erzeugen, das als Gleichung 3.20 erscheint.

Benutzer1785960 · Answer 4

Ich würde gerne die allgemeine Formel wissen ...

Orbitalabstand, Ionisationsenergie und Form des Elektrons können basierend auf der klassischen Mechanik modelliert werden, wenn die kürzlich entdeckte Pentaquark-Struktur als Modell des Protons verwendet wird.

Allgemeiner Algorithmus und Berechnung von Helium zu Calcium im Artikel: "Atomic Orbitals: Explained and Derived by Energy Wave Equations.":

https://vixra.org/abs/1708.0146

Laut verlinkter Rechnung ist ein erwartetes Abstandselektron für Wasserstoff:

$r_{1s} = 5.2918*10^{-11}$ [M]

oder

$r_{1s} = 52.9$ [pm]

Wie groß ist der zu erwartende Abstand des Elektrons vom Kern im Wasserstoffatom?

Brian Bi

Ali Gajani

Brian Bi

Antworten (4)

Jakob Wagner

Benutzer41298

Brian Bi

Benutzer41298

George McBane

Benutzer1785960

Ruslan

Benutzer1785960

Wie groß ist ein angeregtes Wasserstoffatom?

Größe von Positronium

Eigenfunktionen für die 1s1s1s-Wasserstoff-Schrödinger-Gleichung

Erwartungswert von 1/r31/r31/r^3 im 2p2p2p-Zustand eines Coulomb-Potentials

Berechnung der Grundzustandsenergie von Wasserstoff?

Was bedeutet natürliche Linienverbreiterung?

Volumenladungsdichte des H-Atoms

Lässt sich die Schrödinger-Gleichung nach Deuterium lösen?

Berechnung des Darwin-Terms für Wasserstoff

Welche physikalische Bedeutung hat das Überlappungsintegral?