Erwartungswert von 1/r31/r31/r^3 im 2p2p2p-Zustand eines Coulomb-Potentials

Ich habe Schwierigkeiten, diese Menge zu berechnen.

Wir haben ein Elektron im 2p-Zustand eines Wasserstoffatoms (Coulomb-Potential). Als ein vorläufiger Schritt zum Finden der Energiedifferenz zwischen der 2 P 1 / 2 Und 2 P 3 / 2 Zustände, für die ich versuche, Erwartungswerte zu finden S → ⋅ L → Und 1 R 3 .

Allerdings, wenn ich versuche zu berechnen < 1 R 3 > , stoße ich auf ein nicht konvergentes Integral.

Wenn ich die Regeln mit Erwartungswerten richtig verstehe, ist der Operator für < 1 R 3 > wäre 1 R 3 ; daher,

< 1 R 3 >= ∫ Ψ ∗ 1 R 3 Ψ D v

über den ganzen Raum. Im 2p-Zustand hat die radiale Wellenfunktion jedoch eine Form Ψ = C R e − R / 2 A Wo A der Bohr-Radius ist und C ein Durcheinander von Konstanten ist. Wenn ich dies in die obige Gleichung einsetze, erhalte ich

< 1 R 3 >= 4 π 2 C 2 ∫ 0 ∞ 1 R e − R / 2 A D R

was nicht konvergiert 0 .

Jede Hilfe wäre willkommen.

Antworten (1)

Wenn Ihre Wellenfunktion ist Ψ = C R e − R / 2 A , dann darfst du den Zusatz nicht vergessen R 2 erhält man aus der Jacobi-Determinante (eigentlich R 2 Sünde ⁡ θ , aber die Sünde ⁡ θ wird mit verrechnet 4 π ) beim Koordinatenwechsel:

⟨ 1 R 3 ⟩ = 4 π C 2 ∫ 0 ∞ D R R 2 ⋅ 1 R 3 ⋅ ( R e − R / 2 A ) 2 = 4 π C 2 ∫ 0 ∞ D R R ⋅ e − R / A = 4 π C 2 A 2

Danke schön! Das erklärt einiges. Wenn ich jetzt nur herausfinden könnte, warum mein Endergebnis 50 Größenordnungen größer ist, als es sein sollte ...
Erwartungswert von 1/r31/r31/r^3 im 2p2p2p-Zustand eines Coulomb-Potentials
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