Wasserstoffatom aus Sicht der alten Quantentheorie

Es ist sicherlich möglich, Gleichungen der Trajektorien in Bezug auf die Quantenzahlen aufzustellen. Wir finden zuerst die allgemeinen elliptischen/kreisförmigen Pfade auf klassische Weise und sehen dann, ob uns die Quantisierungsregel einige Einschränkungen gibt.

Lassen Sie uns mit Polarkoordinaten in der Ebene der Ellipse arbeiten, indem wir Koordinaten verwenden$r$Und$\theta$, am Kern zentriert; Wir werden in Kürze zu dreidimensionalen sphärischen Koordinaten übergehen. Betrachtet man die Beschleunigung entlang$\mathbf{\hat{e}}_r$Unter Verwendung der EL-Gleichung haben wir (unter Verwendung von$\mu$als reduzierte Masse des Systems; wenn das Elektron Masse hat$m_e$und das Proton hat Masse$m_p$, Dann$\mu=m_em_p/(m_e+m_p)$)

$$\frac{e^2}{r^2}=\mu\ddot{r}-\mu r\dot{\theta}^2,$$ wobei wir die inverse quadratische Kraft eines Kerns mit einem Proton verwendet haben.

Entlang$\hat{\mathbf{e}}_\theta$, wir haben

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mu r^2\dot{\theta}=0.$$

Ich werde nicht den gesamten Prozess der Lösung dieser Gleichungen durchgehen, aber es ist nicht zu ausführlich. Wir führen einige Variablen ein, die entweder der Einfachheit halber oder als Integrationskonstanten auftreten, und präsentieren eine Lösung:

• $p$ist der Gesamtdrehimpuls des Systems;$\mu r^2\dot{\theta}=p$.
• $W$ist die Gesamtenergie des Systems, wenn man den Massenschwerpunkt als ruhend betrachtet. Wir wünschen negative Werte von$W$, die hier auf gebundene Zustände hinweisen.
• $u=1/r$.

$$u(\theta)=\frac{e^2\mu}{p^2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4\mu^2e^4}{p^4}+\frac{8\mu W}{p^2}}\sin\theta$$

Es stellt sich heraus, dass dies die Gleichung für eine Ellipse mit einem Fokus im Ursprung ist; die kleine Halbachse und die große Halbachse$a$Und$b$werden von gegeben

$$a=-\frac{e^2}{2W};\quad b=\frac{p}{\sqrt{-2\mu W}}$$

Wir haben noch nicht gezeigt, dass nur bestimmte Werte von$a$Und$b$sind erlaubt, da derzeit keine Beschränkungen bestehen$W$Und$p$. Aber wenn wir die zulässigen Energien und Gesamtimpulse finden können, ist es trivial, Substitutionen vorzunehmen und zur gewünschten Form der Beschreibung der Ellipse zu gelangen.

Um die Quantisierung zu beobachten, können wir die Wilson-Sommerfeld-Regel für jede der sphärischen Koordinaten anwenden$r$,$\vartheta$, Und$\varphi$(Denken Sie darüber nach, wie dies im Vergleich zum vorherigen System von$r$Und$\theta$; es ist relevant). Wir haben

$$\begin{align} \oint \mathrm{d}r\,p_r&=n_r h\tag{A}\\ \oint \mathrm{d}\vartheta\,p_\vartheta&=n_\vartheta h\tag{B}\\ \oint \mathrm{d}\varphi\,p_\varphi&=n_\varphi h\tag{C} \end{align}$$

Gleichung C ist die einfachste.$p_\varphi$ist eine Konstante, wie im Rotator-Abschnitt der in der Frage verlinkten Seite beschrieben; wir führen die magnetische Quantenzahl ein$m$um die Projektion des Drehimpulses auf die zu definieren$xy$Flugzeug als

$$p_\varphi=m\hbar;\quad m=\pm1,\pm2,\dots$$

Es gibt einige Möglichkeiten, Gleichung B zu lösen; Es fällt mir leicht, mit zu unserem alten Formalismus zurückzukehren$\theta$die wir benutzt haben, als wir die Formen der Bahnen gefunden haben; es ähnelt dem Ansatz, der in dem von G. Smith in den Kommentaren verlinkten Artikel verwendet wird ( https://arxiv.org/abs/1605.08027 ). Wir wissen$p_\theta$ist der Gesamtdrehimpuls, also

$$p_\theta=p=p_\vartheta+p_\varphi.$$

Wir führen die azimutale Quantenzahl ein$\ell$;

$$\oint\mathrm{d}\theta\,p_\theta=\ell h\Rightarrow p=\ell\hbar;\quad \ell=1,2,\dots$$

Wir haben somit erfolgreich die Quantisierung von erzwungen$p$; Wir hoffen, dass Gleichung A uns bei der Lösung hilft$W$. Es ist ein relativ langer Prozess; Wir verwenden unsere alten Definitionen von wieder$u$Und$\theta$,

$$p_r\mathrm{d}r=\mu\dot{r}\mathrm{d}r=\frac{p}{u^2}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}u\right)^2\mathrm{d}\theta$$ Verwenden Sie unseren Ausdruck für$u(\theta)$und Anwendung von Gleichung A, haben wir eine sehr lästige $$p\epsilon^2\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\,\frac{\cos^2\theta}{(1+\epsilon\sin\theta)^2}=n_rh,$$ wo wir eingeführt haben$\epsilon=1-\frac{b^2}{a^2}$.

Glücklicherweise bekommen wir dafür eine recht ordentliche Lösung:

$$p\left(\frac{1}{\sqrt{1-\epsilon^2}}-1\right)=n_r\hbar$$

Wir vergleichen dies mit unserer Formel für$p$bezüglich$\ell$um eine Beziehung zwischen den Parametern zu finden$a$Und$b$der Ellipse, und lösen Sie für$W$. Das gibt uns

$$W_{n_r,\ell}=-\frac{\mu e^4}{2\hbar^2(n_r+\ell)^2}.$$

Sie können diese Ausdrücke für einfügen$W_{n_r,\ell}$Und$p_\ell$in den Ausdruck für$u(\theta)$um die Gleichungen der gewünschten Ellipsenbahnen zu finden.

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Wir können dieses Ergebnis nun analysieren, um den zweiten Teil der Frage zu beantworten. Klar, die Entartung der Bahnen gleich mit$n_r$Und$\ell$wird durch die erlaubten Energien impliziert. Es gibt ein paar andere wichtige visuelle Anmerkungen zu den Formen von Umlaufbahnen:

• Wir haben im Allgemeinen elliptische Umlaufbahnen; Sie sind kreisförmig, wenn$n_r=0$.
• $m$gibt die Neigung der Umlaufbahn im Raum an: Der Absolutwert davon bestimmt den Winkel zwischen der Ebene der Umlaufbahn und der$xy$Flugzeug, und das Vorzeichen sagt Ihnen, ob die Umlaufbahn im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn verläuft.

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Referenz

Einführung in die Quantenmechanik von Pauling und Wilson