Volumenladungsdichte des H-Atoms

Question

Volumenladungsdichte des H-Atoms

Benutzer29498

Ich habe ein Problem, bei dem ich die Volumenladungsdichte eines neutralen Wasserstoffatoms berechnen soll. Das Potenzial ist gegeben

Φ = k \frac{e^{- A R}}{R} (1 + \frac{A R}{2})

$\Phi = k \frac{e^{-ar}}{r} \left(1 + \frac{ar}{2}\right)$ Jetzt habe ich versucht, die Poisson-Gleichung zu verwenden

Δ Φ = \frac{ρ}{ε_{0}}

$\Delta \Phi = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ was mich zu führt

ρ = Δ (\underset{= k}{\underset{⏟}{\frac{Q}{4 π ϵ_{0}}}} \frac{e^{- a R}}{R} (1 + \frac{a R}{2})) = k Δ (\frac{e^{- a R}}{R} + \frac{a e^{- a R}}{2}) = k (Δ (\frac{e^{- a R}}{R}) + \frac{a}{2} Δ (e^{- a R}))

$\rho = \Delta \left( \underbrace{\frac{q}{4 \pi \epsilon_0}}_{= k} \frac{e^{-\alpha r}}{r} \left( 1 + \frac{\alpha r}{2} \right) \right) = k \Delta \Big( \frac{e^{-\alpha r}}{r} + \frac{\alpha e^{-\alpha r}}{2} \Big) = k \left( \Delta \left( \frac{e^{-\alpha r}}{r} \right) + \frac{\alpha}{2} \Delta \left( e^{-\alpha r} \right) \right)$ Jetzt definiere ich

f = e^{- α r}

$f = e^{-\alpha r}$ Und

g = \frac{1}{r}

$g = \frac{1}{r}$ . Der Laplace-Operator des Produkts

f g

$fg$ ist dann

Δ (F G) = G Δ (F) + F Δ (G) + \nabla (F) \cdot \nabla (G)

$\Delta(fg) = g \Delta(f) + f \Delta(g) + \nabla (f) \cdot \nabla (g)$ und die Derivate sind

\nabla (F) = - a e^{- a R} \hat{R} Δ (F) = a^{2} e^{- a R}

$\nabla(f) = - \alpha e^{-\alpha r} \hat{ \mathbf r} \qquad \qquad \Delta(f) = \alpha^2 e^{-\alpha r}$

\nabla (G) = - \frac{1}{R^{2}} \hat{R} Δ (G) = - 4 π δ (R)

$\nabla(g) = - \frac{1}{r^2} \hat{ \mathbf r} \qquad \qquad \Delta(g) = - 4 \pi \delta(r)$

⟹ \nabla (F) \cdot \nabla (G) = \frac{a e^{- a R}}{R^{2}}

$\implies \nabla(f) \cdot \nabla(g) = \frac{\alpha e^{-\alpha r}}{r^2}$ Das Wiedereinsetzen in die ursprüngliche Gleichung ergibt

ρ = k e^{- a R} (\frac{a^{2}}{R} - 4 π δ (R) + \frac{a}{R^{2}} + \frac{a^{3}}{2})

$\rho = k e^{-\alpha r}\Big( \frac{\alpha^2}{r} - 4 \pi \delta(r) + \frac{\alpha}{r^2} + \frac{\alpha^3}{2} \Big)$ Dies scheint mir jedoch etwas falsch zu sein, da ich erwartet hätte, dass der Ausdruck vom Ursprung an zunimmt und dann nach einiger Zeit abnimmt

r = R

$r=R$ da das Potential der Elektronenhülle übernehmen sollte.

Kann mir jemand bestätigen, dass dies richtig ist, oder mir zeigen, wo ich den Fehler gemacht habe?

Abgesehen davon, dass ich die Ableitungen wie in kartesischen Koordinaten genommen habe, habe ich versucht, den Laplace-Operator durch Berechnung in Kugelkoordinaten sowie unter Verwendung des sphärischen Laplace-Operators zu berechnen

Δ Φ = \frac{1}{R^{2}} \frac{\partial}{\partial R} (R^{2} \frac{\partial Φ}{\partial R})

$\Delta \Phi = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial \Phi}{\partial r}\right)$ aber immer noch das gleiche Ergebnis.

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

Es lohnt sich immer daran zu denken, dass die

n = 0

$n = 0$ Die Elektronenwellenfunktion ist im Zentrum maximal ...

Benutzer29498

Sie sagen also, dass die Berechnung irgendwie konsistent ist, da meine Elektronenladung die höchste Dichte bei hat

r = 0

$r=0$ ? @dmkee

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Volumenladungsdichte des H-Atoms

Es lohnt sich immer daran zu denken, dass die $n = 0$ Die Elektronenwellenfunktion ist im Zentrum maximal ...
Sie sagen also, dass die Berechnung irgendwie konsistent ist, da meine Elektronenladung die höchste Dichte bei hat $r=0$ ? @dmkee

Emilio Pisanty · Answer 1

Mir ist nicht klar, warum Sie mit der Antwort, die Sie erhalten, unzufrieden sind. Ich würde vorschlagen, Ihre Erwartungen in Bezug auf die Gesamtladung zu formulieren, die in einer Radiuskugel enthalten ist $r$ ,

4 π \int_{0^{-}}^{R} ρ (R^{'}) R^{' 2} D R^{'} .

$4\pi\int_{0^-}^r \rho(r')r'^2\,\text dr'.$ Dies sollte die positive Ladung des Kerns an geben

r \to 0^{+}

$r\rightarrow 0^+$ (weil das Proton in diesem Modell punktgroß ist!) und fallen dann monoton auf Null ab

r

$r$ steigt durch

1 / α

$1/\alpha$ und darüber hinaus zu

r \to \infty

$r\rightarrow\infty$ , und Ihre Sphäre enthält immer mehr von der Elektronenwolke, die den Kern umgibt (und neutralisiert). Wenn dies fehlschlägt, müssen Sie unbedingt Ihre Berechnungen überprüfen.

Beachten Sie auch, dass Verwirrung zwischen $\delta(r)$ Und $\delta(\mathbf r)$ kann hier ziemlich schädlich sein.
Ok, danke an alle, ich habe die Berechnungen neu gemacht, indem ich zuerst r>0 betrachtete und danach r->0 und eine Taylor-Entwicklung des Potentials bei ließ $r=0$ Jetzt habe ich $ρ = - ε_{0} Φ = Q (δ (R) - \frac{a^{3}}{8 π} e^{- a R})$ $\rho = - \varepsilon_0 \Phi = q(\delta(r) - \frac{\alpha^3}{8 \pi} e^{-\alpha r})$ Was mir ein bisschen besser erscheint, weil es das nicht mehr enthält $\frac{1}{r}$ Und $\frac{1}{r^2}$ Bedingungen
Nein, die Singular-Begriffe sollten da sein (oder zumindest nicht schaden). Das ist egal $\rho$ haben eine Singularität, solange die Singularität integrierbar ist, was bedeutet, dass Singularitäten des Typs $r^{-s}$ ganz bis zu mit $s<3$ sind erlaubt.

Volumenladungsdichte des H-Atoms

Benutzer29498

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

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