Berechnung der Grundzustandsenergie von Wasserstoff?

Wir wollen die Energie eines Wasserstoffatoms ($Z=1$) im Grundzustand

$$\psi_{100} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-r}\ \ \ \ \ \ (\mbox{atomic units})$$ mit Hamiltonian $$H = -\frac{1}{2}\nabla^2-\frac{1}{r}$$

Dann

$$\begin{align*} \langle \psi_{100}|H|\psi_{100}\rangle &=\int_0^\infty \int_0^{2\pi} \int_0^\pi r^2\sin\theta\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-r}\left(-\frac{1}{2}\frac{d^2}{dr^2}-\frac{1}{r}\right)\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-r} d\theta d\phi dr \\ &=\int_0^\pi \sin\theta d\theta \int_0^{2\pi}d\phi \int_0^\infty \frac{r^2e^{-r}}{\sqrt{\pi}}\left(-\frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-r}-\frac{1}{r\sqrt{\pi}}e^{-r}\right)dr \\ &= 4\pi \cdot \frac{1}{\pi}\int_0^\infty \left(-\frac{r^2}{2}e^{-2r}-re^{-2r}\right)dr \\ &= 4\left(-\frac{3}{8}\right) \\ &= -\frac{3}{2} \end{align*}$$

Allerdings habe ich das überall gelesen$E = -\frac{Z^2}{2n^2}$, und so sollten wir für ein Wasserstoffatom im Grundzustand haben$E=-\frac{1}{2}$. Also warum bekomme ich$-\frac{3}{2}$? Ich habe mit Mathematica nachgeprüft.