Was bedeutet natürliche Linienverbreiterung?

Trotz der bequemen Fiktion, dass Übergänge zwischen Quantenzuständen nur stattfinden können, wenn die Photonenenergie genau gleich der Energiedifferenz zwischen den beiden Zuständen ist,

$$\hbar \omega = E_2-E_1,$$ Wenn Sie das wörtlich nehmen, würde dies bedeuten, dass selbst wenn die Photonenenergie nur um einen Teil davon abweicht$10^{10^{10}}$, da ist das nicht mehr genau gleich$E_2-E_1$, dann würde der Übergang nicht stattfinden$-$aber das ist natürlich offensichtlicher Unsinn. In der Experimentalphysik ist kein Platz für mathematisch exakte Gleichheiten zwischen reellen Zahlen, und alle physikalischen Größen, einschließlich der Positionen der Spektrallinien, haben eine zugehörige Breite.

Für Spektrallinien gibt es jedoch zwei Hauptbeiträge zu dieser Breite:

• Es kann zum Beispiel vorkommen, dass Ihre Probe eine Reihe verschiedener Atome enthält, die jeweils unter ähnlichen, aber leicht unterschiedlichen Bedingungen stehen (z. , was dazu führt, dass alle verschiedenen Atome Übergänge bei leicht unterschiedlichen Frequenzen haben. Dies ist als inhomogene Verbreiterung der Linie bekannt.
• Es gibt jedoch auch etwas, das als homogene Verbreiterung der Linie bezeichnet wird, und dies beeinflusst die Emission sogar eines einzelnen Atoms. Dies wird dadurch verursacht, dass die Emission zu einem bestimmten Zeitpunkt beginnt (seitdem ist sie nicht mehr aufgetreten$t=-\infty$) und es zerfällt exponentiell, sodass ihm irgendwann die Population im angeregten Zustand ausgeht, um zu zerfallen (an einem Punkt, der ziemlich kurz vor dem Zerfall liegt).$t=\infty$), was bedeutet, dass die Emission nicht streng monochromatisch ist, und eine Fourier-Transformation der Einzelatomemission wird feststellen, dass sie eine Breite ungleich Null hat.

Sie haben die Aufgabe, die durch die homogene Verbreiterung verursachte Linienbreite zu schätzen, basierend auf den Anforderungen des Unschärfeprinzips, die durch die im Problem angegebene Lebensdauer verursacht werden.

In der Quantenmechanik können Elektronen durch Strahlungsabsorption/-emission von einem Zustand in einen anderen springen. Die Frequenz der Strahlung muss jedoch nicht genau sein$\frac{E_2-E_1}{h}$. Man kann eine etwas andere Frequenz verwenden und trotzdem den Energieübergang erhalten. Das bedeutet, wenn Sie sich das Spektrum des von einem Atom emittierten/absorbierten Lichts ansehen, sehen Sie keine scharfe Delta-Funktion, sondern eine glatte Kurve (Linie), die wie eine Lorentzsche aussieht . Das bedeutet, dass die Absorptionslinie breiter ist, als wenn nur eine einzelne Frequenz absorbiert wird. Daher stammt auch der Begriff "Linienverbreiterung" - es ist das Phänomen einer breiter werdenden Absorptionskurve (d.h. immer mehr Frequenzen können von einem Elektron absorbiert oder von einem Elektron emittiert werden). Es gibt eine Reihe von Gründen, warum die Absorptionslinie breiter wird, wie Druck, Dopplereffekt und mehr - aber wie bereits gesagt, hat sogar ein einzelnes Atom im Vakuum eine "natürliche Verbreiterung".

Dies liegt an der endlichen Zeit, die ein Elektron (im Durchschnitt) im angeregten Zustand verbringt. Dieser Übergang liegt daran, dass der Hamiltonian eines Atoms im Vakuum durch das elektromagnetische Feld im Vakuum gestört wird. In der Störungstheorie kann man sehen, dass je länger es dauert, bis eine Störung einen Übergang hervorruft, desto genauer muss ihre Frequenz sein, das heißt$\Delta \omega \Delta t \geq 1$.

Zusammenfassend sollten Sie die berechnen$\Delta \omega$der Absorptionslinie unter Verwendung dieser Unschärferelation, aber ich hoffe, die Erklärung hat geholfen (Entschuldigung für englische Fehler)

Normalerweise betrachten wir bei der Durchführung von Berechnungen die Energieniveaus des Systems als diskret. Tatsächlich aber haben angeregte Zustände eine gewisse Zerfallswahrscheinlichkeit durch die Emission von Photonen und somit eine endliche Lebensdauer. Dies impliziert, dass die Ebenen quasidiskret werden, mit einer kleinen, aber endlichen Breite; Sie können in das Formular geschrieben werden$E-\tfrac{1}{2}i\Gamma$Wo$\Gamma$ist die Gesamtwahrscheinlichkeit aller möglichen Zerfallskanäle (diese Tatsache wird alternativ als optisches Theorem angegeben). Oft ist die Breite, die sich entwickelt, eher klein im Vergleich zu der Lücke zwischen den diskreten Ebenen, sodass wir immer noch scharfe Übergänge messen können. Jemand anderes kommentiert, dass wir keine vollständigen Antworten auf Hausaufgabenfragen geben sollten, also werde ich stattdessen nur auf das Konzept und seine Bedeutung eingehen, da Sie darum gebeten haben. Eine andere Antwort erwähnt beispielsweise, dass sich die Energieniveaus zu Lorentzianern erweitern - es ist nicht allzu schwer, diese Tatsache abzuleiten.

Fangen wir bei Null an, mit der Schrödinger-Gleichung

$$\begin{equation} \label{sequation} i\frac{\partial \Psi}{\partial t}=\left(\hat{H}^{(0)}+\hat{V} \right)\Psi \end{equation}$$ und erweitern Sie die Lösung hinsichtlich der Wellenfunktionen der ungestörten Zustände des Systems $$\begin{equation} \label{tdpt} \Psi=\sum_\nu a_\nu (t) \Psi^{(0)}_\nu=\sum_\nu a_\nu (t) e^{-iE_\nu} \psi^{(0)}_\nu \end{equation}$$ Diesen Ausdruck auf beiden Seiten der Schrödinger-Gleichung einfügen und innere Produkte mit dem Zustand bilden$\nu$gibt $$\begin{equation} \label{tdpt2} i\frac{\partial a_\nu}{\partial t}=\sum_\nu\langle\nu|V|\nu '\rangle a_{\nu '} (t) \ e^{i(E_\nu-E_\nu')} \end{equation}$$ Das übliche Verfahren für die zeitabhängige Störungstheorie geht wie folgt. Wir nehmen an, dass sich das System in einem Anfangszustand mit Wahrscheinlichkeit Eins befindet$a_1=1$Und$a_\nu=0$für$\nu\neq 0$. Dann nach führendem Auftrag integrieren wir beide Seiten zu finden$a_\nu$indem nur Begriffe auf der linken Seite bleiben, wo$\nu'=1$dh nur Einhaltung von Fristen zur führenden Bestellung$V$. Das Berechnungsverfahren$a_\nu$genauer durch Iteration vorgeht. Uns interessiert vor allem die Langzeitwahrscheinlichkeit des Zerfalls $$\begin{equation} dw=|a_{\omega, 2}(\infty)|^2 \ d\omega \end{equation}$$ Wo$\nu=2$ist ein aufgeregter Zustand und$\omega$bezeichnet die Emission eines Photons. Im üblichen Fall der zeitabhängigen Störungstheorie gehen wir effektiv davon aus, dass unsere Ergebnisse für eine Zeit gelten, die länger ist als der inverse Niveauabstand, aber kurz im Vergleich zur Zerfallslebensdauer der Energieniveaus. Lassen Sie uns nun diese Annahme lockern - wenn wir Zeiten erreichen, die mit dem Verfallleben des Staates vergleichbar sind$1$Dann$a_1=\exp{\left( -\tfrac{1}{2}\Gamma_1 t \right)}$und die Gleichung für$a_{\omega, 2}$wird $$\begin{equation} \label{modtdpt} i\frac{d a_{\omega, 2}}{dt}=\langle \omega, 2| V |1\rangle e^{i(\omega-\omega_{12})t-\frac{1}{2}\Gamma_1 t} \end{equation}$$ Sonst Integration wie üblich und Einsetzen in die Formel für die Langzeitzerfallswahrscheinlichkeit ergibt $$\begin{equation} \label{bwdist} dw=|\langle\omega, 2| V|1\rangle|^2 \frac{1}{(\omega-\omega_{12})^2+\frac{1}{4}\Gamma_1^2} \ d\omega \end{equation}$$ Wenn wir davon ausgehen, dass die Breite klein ist, dann wird dieser Ausdruck vom Frequenzbereich dominiert$\omega\approx \omega_{12}$, und wir gewinnen die übliche goldene Fermi-Regel zurück.

Nun definieren wir den Ausdruck

$$\begin{equation} \Gamma_{1\rightarrow 2}=2\pi \sum_{pol,\boldsymbol{k}}|\langle \omega 2| V|1\rangle|^2 \end{equation}$$ was die Gesamtemissionswahrscheinlichkeit ergibt, nach Summierung über die Polarisationen und Bewegungsrichtungen des Photons. Wenn wir dann unseren Ausdruck für die Langzeitzerfallsrate ähnlich über die Polarisationen und Impulse summieren, erhalten wir die Gesamtfrequenzverteilung für emittierte Strahlung $$\begin{equation} dw=\frac{\Gamma_{1\rightarrow 2}}{2\pi}\frac{1}{(\omega-\omega_{12})^2+\frac{1}{4}\Gamma_1^2} d\omega \end{equation}$$ Diese Verbreiterung der Spektrallinie tritt für ein isoliertes Atom in Ruhe auf, im Unterschied zu einer Verbreiterung, die durch die Wechselwirkung von Atomen mit anderen Atomen verursacht wird ($\textit{collision broadening}$) oder durch das Vorhandensein von Atomen in der Quelle, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen ($\textit{Doppler broadening}$). Es heißt die$\textit{natural shape}$, und es ist klar, dass es sich um einen Lorentzschen Peak handelt, wie von den anderen Antworten behauptet. (Außerdem: Wir könnten diese Berechnung weiter verfeinern, indem wir die Lebensdauer des Levels berücksichtigen$2$).