Warum sind die Energieniveaus von Wasserstoff in ℓℓ\ell und mmm entartet?

Die Entartung der Energieniveaus lässt sich darauf zurückführen, dass das Wasserstoffatom eine erhöhte besitzt$SO(4)$Symmetrie , die (unter anderem) durch die Erhaltung des Laplace-Runge-Lenz-Vektoroperators verursacht wird , siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag und Ref. 1.

Verweise:

1. G. 't Hooft, Introduction to Lie Groups in Physics , Vorlesungsskript, Kapitel 9. Die pdf-Datei ist hier verfügbar .

Die kürzeste und richtige Antwort: Diese Entartung wird durch die Symmetrie des Systems bestimmt.

Der Fall der Entartung im Wasserstoffatom ist die sogenannte "zufällige Entartung", wenn Eigenfunktionen, die zu verschiedenen irreduziblen Darstellungen der Symmetriegruppe eines Hamilton-Operators gehören, der gleichen Energie entsprechen. Diese Art der Entartung kann auch in größeren Systemen auftreten, beispielsweise in Molekülen. Diese Entartung kann nicht allein aus der Standardbetrachtung der Hamiltonschen Symmetrie vorhergesagt werden. Der Grund für diese Entartung ist das Vorhandensein einer versteckten Symmetrie im System.

Mathematisch bedeutet dies, dass man für die Systeme mit versteckter Symmetrie einige Erhaltungsgrößen konstruieren kann, sogenannte „Integral-Invariante“, die bei der Berücksichtigung von Symmetrieeigenschaften zusätzlich zur Symmetrie des Hamilton-Operators einbezogen werden sollten. Und im Prinzip ist es möglich, die Schrödinger-Gleichung unter Einbeziehung dieser "ganzzahligen Invarianten" auf kniffligere Weise zu lösen und eine Lösung zu erhalten, für die diese "zufälligen Entartungen" strikt eingeschlossen werden.

Beim Wasserstoffatom liegt der Grund in der Invarianz des Systems nicht nur gegenüber der dreidimensionalen Rotationsgruppe 0(3), sondern auch gegenüber der vierdimensionalen Rotationsgruppe 0(4) – das System hat sich auf den ersten Blick unerwartet verborgen Symmetrie.

Supersymmetrie

Nun, für fest$l$, die Entartung von$m$Aufgrund der SO(3)-Symmetrie sehen wir nur eine vollständige Darstellung dieser Gruppe.

Die große Frage ist, warum all die radialen Hamiltonianer$H_l$denn verschiedene Drehimpulse haben bis auf eine diskrete Anzahl von Eigenwerten das gleiche Spektrum.

Beachten Sie, dass besonders das Turm-Spektrum z$l$und der Turm für$l+1$unterscheiden sich nur in einem Eigenwert, dem energetisch niedrigsten. Dies ist der typische Aufbau, den man in Wittens Supersymmetric Quantum Mechanics lesen kann: ein Paar Hamiltonianer, die sich nur im Vakuum-Eigenzustand unterscheiden. Sie sollten also in der Lage sein, einen solchen Supersymmetriegenerator Q zu bauen$H_1=QQ^+$ist der radiale Hamiltonoperator für den Drehimpuls$l$und$H_2=Q^+Q$ist der radiale Hamiltonoperator für den Drehimpuls$l+1$.

SUSY QM ist einfacher als QFT QM; es zieht Spin nicht in Betracht; der Staat und der Superpartner sind nur zwei Ebenen in den Hamiltonianern der QM. Es ist mathematisch nur ein bisschen fortgeschrittener als die Faktorisierungsmethode; Dennoch erlaubt es einige topologische Argumente zum Susy-Breaking, die sich auf die QFT-Version verallgemeinern lassen, dies war die Idee von Witten, als es definiert wurde.

Nur bin ich mir jetzt nicht sicher, ob dies den Anschluss für alle Potentiale hat$l,m$Entartung existiert, oder nur für Coulomb-Wasserstoff-Fall; Zunächst impliziert dies, dass das Potenzial$V(r)$muss von einem Superpotential kommen, also ist es sicherlich nicht so trivial, nicht alle Familien von radialen Potentialen zu klassifizieren, die diesen Trick ermöglichen. Aber die Idee ist mittlerweile zwanzig Jahre alt, also ist sie sicherlich schon fertig.

Ok, es gibt sogar einen Eintrag in der Wikipedia . Demnach ist das Superpotential

$$W = \frac{\sqrt{2m}}{h} \frac{\lambda}{2(l+1)} - \frac{h(l+1)}{r\sqrt{2m}}$$

Damit die Potenziale

$$V_-=W^2-W'= -\lambda \frac{1}{r} + \frac{h^2 l (l+1)} {2m} \frac{1}{r^2}- \frac{\lambda^2 m}{2 h^2 (l+1)^2}$$ und $$V_+=W^2+W'=-\lambda \frac{1}{r} + \frac{h^2 (l+1) (l+2)} {2m} \frac{1}{r^2} + \frac{\lambda^2 m}{2 h^2 (l+1)^2}$$ haben dasselbe Spektrum bis auf den niedrigsten Energieeigenwert des ersten, der Null ist und im zweiten nicht vorkommen kann (schönes topologisches Ergebnis).

Der Vorteil dieser Erklärung besteht darin, dass sie auf Potentiale ohne die volle SO(4)-Symmetrie und auf exotischere Fälle erweitert werden kann, in denen die Paarung für andere Eigenwerte fehlschlägt.

PS: Es kann festgestellt werden, dass das Superpotential für das Coulomb-Problem nur eine Konstante entfernt ist$W(r)=1/r$. Ein interessanter Punkt ist, dass dieses Superpotential so kalibriert werden kann, dass es sich mit dem freien Teilchen paart:$V_+(r)=W^2+W'=0$; die Superpotentiale mit dieser Eigenschaft erzeugen die sogenannten "transparenten Potentiale", mit besonderen Eigenschaften in der Phasenverschiebung. Sie können als Verallgemeinerung der Radialgleichung auf symmetrische Räume , mit angesehen werden$1/r$der euklidische Fall ist.

Zusammenhang mit so(4)-Gruppendarstellungen (und Runge-Lenz-Vektor?)

Laut letzter Seite dieser Vorlesung ist die Rolle des Runge-Lenz-Vektors als Superladung analytisch heikel. Aber zumindest hilft uns die Gruppentheorie, wenn wir uns daran erinnern, dass so(4) ~ su(2) x su(2) und so(3) ~ su(2). Für unsere Zwecke könnten wir also wirklich schreiben

$$so(4) \approx su(2) \oplus so(3)$$ Der Rotationsteil, so(3), gibt uns die $m$Entartung innerhalb einer Darstellung der Rotationsgruppe; diese sollte für jedes zentrale Potential vorhanden sein. Das $su(2)$Teil ist derjenige, dessen Leiteroperator eine Interpretation als Supersymmetrieladung erlaubt, wobei die Entartung wegen des Unterschieds im Eigenzustand niedrigster Energie nicht vollständig ist; normalerweise verschwindet es, weil $Q |\Omega>$ist nicht normalisierbar. (Ich bin ein bisschen fasziniert, dass der Susy-Leiteroperator mit einer SU (2) verwandt ist, weil dies in Susy QM nicht benötigt wird oder zumindest nicht explizit ist.)

Der Supersymmetriegenerator Q (alt.$Q^+$) erzeugt bei Anwendung auf die Eigenfunktion eines Hamiltonoperators die entsprechende Eigenfunktion im Partner. Dies ist die gleiche Rolle, die der Ladder-Generator verwendet hat, um Zustände innerhalb einer Darstellung der Symmetriegruppe zu erzeugen, aber in dieser Ansicht kommt sie von der susy-Paarung: if

$$H_2 \psi = Q^+Q \psi = E\psi$$ dann $$H_1 (Q\psi) = (Q Q^+) (Q \psi) = Q H_2 \psi = E (Q\psi)$$

Beachten Sie, dass die Kopplung fehlschlägt, wenn$Q\psi$existiert nicht; Dies ist der Fall für das Vakuumpotential, aber ich erinnere mich, dass J Casahorran einige Studien für andere Eigenzustände außerhalb des Vakuums durchgeführt hat (es ist aufgrund von Wittens Ergebnissen schwierig).