Wasserstoffatom in 2 Raumdimensionen mit logarithmischem Potential

Ich stimme zu, dass diese Gleichung wahrscheinlich keine Lösung in Form von Elementarfunktionen zulässt. Mit ein wenig Graben fand ich jedoch dieses Papier: Atabek et. Al. Phys. Rev. A 1974 zu Ihren Fragen (sie verwenden ein logarithmisches 2D-Potential und diskutieren das Spektrum der Energieeigenwerte).

Eine nützliche Sache, die sie tun, ist Ersatz$R_m = r^{-½}f_m$den Begriff proportional zu eliminieren$R^\prime$in die Gleichung und um eine Gleichung der Form zu erzeugen:$f^{\prime \prime}_m = g(r,m) f_m$womit man besser arbeiten kann.

Zur numerischen Lösung:

Was Sie hier haben, ist ein "2-Punkt-Randwertproblem (BVP)" (da Sie den Wert von angeben$R_m$, oder gleichwertig$f_m$, bei$r = 0$und Sie möchten, dass es verschwindet$r \rightarrow \infty$), die häufig mit sogenannten „Shooting Codes“ behandelt werden.

Wenn Sie mit einfacheren (einstufigen, expliziten) numerischen Methoden wie RK4 vertraut sind, können Sie einfach über Werte von iterieren$E$mit einer Vermutung für$R^\prime(0)$und überprüfen Sie den Wert der Lösung ($R$) bei einem großen Endwert von$r$. Abhängig von Ihren Einheiten sogar so etwas wie$r_f = 10$scheint zu genügen. Dann können Sie Ihr Suchraster manuell anpassen$E$bis zu diesem Endwert,$R(r_f)$, ist ungefähr null.

Ich habe dieses RK4-Iterationsschema kodiert, nur um die qualitative Form der radialen Wellenfunktionen zu überprüfen (mit$m = 0$) in der verlinkten Veröffentlichung von 1974 berichtet und sie scheinen damit übereinzustimmen (vgl. Abb. 4 der Veröffentlichung).

Eine Einschränkung : Achten Sie nicht auf die numerischen Werte von$E$oder$R_{m=0}$In der folgenden Abbildung sind die Einheiten wahrscheinlich etwas verwechselt. Außerdem normalisierte ich die Spitzen von$R_m$zu 1 zum Vergleich quer$m$'s.

Trotzdem sind hier zur qualitativen Überprüfung drei Eigenfunktionen der Gleichung, eine für$m = 0$, und zwei für$m = 1$. Diese wurden mit der iterativen RK4-Methode gefunden.

Ich bezweifle, dass diese Gleichung lösbar ist, obwohl es ratsam wäre, in einem Buch über spezielle Funktionen wie Abramovitz & Stegun oder Gradshtein & Ryzhik nachzuschlagen.

Ihre Gleichung scheint für ein Flachland richtig zu sein . Viele Probleme betreffen jedoch die reale 3D-Welt, in der die Bewegung auf zwei oder sogar eine Dimension beschränkt ist. In diesem Fall bleibt das Potenzial 3D:$1/r$. Der eindimensionale Fall ist bemerkenswert, da die Bindungsenergie divergiert, was lange Zeit ein Problem für die Analyse von Exzitonen in Kohlenstoffnanoröhren darstellte.