Bedeutung des Drehimpulses in der Quantenmechanik

In einem Online-Kurs, den ich jetzt besuche, gab es eine Diskussion über den Drehimpuls in QM. Die Diskussion und die Antworten haben mich nicht zufrieden gestellt, also wollte ich sie auf Physics SE stellen.

Im klassischen Bild stellen wir uns ein Wasserstoffatom als ein Elektron vor, das um einen Kern mit Plusladung kreist, der offensichtliche Mängel aufweist, wie die Instabilität des Atoms aufgrund der EM-Strahlung.

Im QM haben wir den Operator L = P × R und wir wissen, dass das Elektron keine EM-Wellen ausstrahlt, weil es nicht wirklich um den Kern kreist. Es ist manchmal hier und da. Die Wellenfunktion des Elektrons kann jedoch einen Eigenwert von haben L 2 dh. es kann einen bestimmten Drehimpuls haben. Da wir wissen, dass der Drehimpuls auch in QM erhalten bleibt ( [ L 2 , H ] = 0 ) Ich würde (klassischerweise) annehmen, dass der Punkt, an dem wir den Drehimpuls messen, der Kern sein sollte, da nur dann der Drehimpuls erhalten werden kann (korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege). Das würde aber bedeuten, dass das Elektron tatsächlich um den Kern kreist .

Wie kann es einen Drehimpuls haben, ohne um den Kern zu kreisen und sein Drehimpuls erhalten zu bleiben? Wenn es kreist, sind wir wieder bei Null, warum strahlt es keine EM-Wellen aus? Neben diesen zu beantwortenden Teilfragen ist meine eigentliche Frage: Wie richtig ist es, den klassischen Drehimpuls mit der Drehimpulsalgebra in der QM zu assoziieren, die sich eigentlich aus einer Rotationssymmetrie ergibt. Ich weiß nicht viel über die experimentelle Seite der Geschichte, aber wenn wir in der Lage sind, den Drehimpuls eines an den Kern gebundenen Elektrons zu messen, wie passt er dann zu all dem?

Der Gesamtdrehimpuls eines Wasserstoffatoms ist beobachter- (dh Koordinatensystem-)abhängig. Die Quantenmechanik ändert daran nichts. Was sich in der Quantenmechanik ändert, ist, dass sich der Drehimpuls nur in Vielfachen eines endlichen Quants ändern kann. Darüber hinaus müssen Sie aufhören, Elektronen als klassische Punktmassen zu betrachten. Sie sind keine klassischen Massenpunkte, Koordinaten sind in der Quantenmechanik nicht als kontinuierliche Änderung eines Schwerpunktsvektors wie in der Newtonschen Mechanik zu interpretieren.
Im Gegenteil, ich denke, dass Sprichwort L ist der Drehimpuls, der besagt, dass sich etwas um etwas anderes dreht. Ich frage mich nur, ob diese Identifizierung darüber hinausgeht und ob die Elektronen bei der Messung des Drehimpulses eine Art Drehimpuls im klassischen Sinne haben.
In der modernen Physik wird so etwas nicht impliziert. Der quantenmechanische Drehimpuls ist eine Größe, die sich algebraisch sehr ähnlich wie der klassische Drehimpuls verhält und für die es einen geeigneten klassischen Grenzwert gibt, der den klassischen Drehimpuls wiedergibt. Es hat jedoch keinen Sinn, dieser formalen Größe ein mentales Bild von "etwas Rotierendem" anzuhängen. Solche Extrapolationen führen nur zu unnötigem seelischen Schmerz. Um es noch einmal deutlich zu machen: "Elektronen" haben in diesem Fall keinen Drehimpuls, das gesamte Wasserstoffatom schon.
Diese Erklärung gibt mir eine gewisse Erleichterung, befriedigt mich aber nicht vollständig. Ich glaube jedoch nicht, dass irgendetwas das kann, denn QM ist QM und es ist mehr als gespenstisch, nicht intuitiv und seltsam. Immer wenn ich QM als QM akzeptiere, stoße ich auf diese Fragen, die mich schon lange beschäftigen.
"spookie" und "non-intuitiv" und "seltsam" sind Reaktionen Ihres Verstandes auf unbekannte Dinge, sie sind keine Eigenschaften von QM. Operativ unterscheidet sich QM nicht von klassischer Mechanik. Nichts braucht „Akzeptanz“, Sie müssen lediglich entscheiden, ob Sie bereit sind, die wissenschaftliche Methode ernsthaft anzuwenden.
@CuriousOne Ich finde deinen Kommentar ziemlich beleidigend und in keiner Weise produktiv. Der Mathematik zu vertrauen und ihre Ergebnisse zu akzeptieren, ist eine Sache, und die Ergebnisse dieser wissenschaftlichen Methoden sind intuitiv zu sein, eine andere. Übrigens: Denken Sie in keiner Weise, dass ich zögern würde, wissenschaftliche Methoden anzuwenden oder ein schlechtes mathematisches Verständnis von QM habe.
Ich versuche lediglich, Ihnen zu helfen, herauszufinden, was in Ihrer Frage Wissenschaft und was Psychologie ist. Beides voneinander trennen zu können, ist ein wesentlicher Teil des Verständnisses der Physik. Darin liegt keine Beleidigung. Da mussten wir alle durch. Als ich zum ersten Mal in die Quantenmechanik eingeführt wurde, war meine erste Reaktion Ihrer sehr ähnlich. Auch ich musste lernen, damit umzugehen. Mit der Zeit wirst du sehen, dass ich nicht versucht habe, dich zu beleidigen. Frieden.

Antworten (3)

Es ist ein Irrglaube, das zu sagen

In QM [...] wissen wir, dass das Elektron keine EM-Wellen ausstrahlt, weil es nicht wirklich um den Kern kreist. Es ist manchmal hier und da.

In der QM macht der Begriff "um den Kern kreisen" zwar keinen Sinn, aber das ist nicht der Grund, warum Elektronen keine EM-Wellen ausstrahlen. Stattdessen wird ein Atom in seinem Grundzustand nicht strahlen, weil sein Zustandsraum einfach keine Zustände mit niedrigerer Energie enthält.

Dies liegt im Wesentlichen an der Unschärferelation. Wenn Sie ein Wasserstoffatom haben und versuchen, die „Elektronenbahn“ noch weiter zu komprimieren, dann nimmt die Positionsunsicherheit des Elektrons ab, und dies führt zu einer entsprechenden Zunahme der Impulsunsicherheit. Diese Impulsunsicherheit ist proportional zu P 2 und damit zur kinetischen Energie. Dies bedeutet, dass eine Verringerung des mittleren Radius die potenzielle Energie verringert, aber die minimal zulässige kinetische Energie erhöht, sodass ein Kompromiss erforderlich ist. Für den Grundzustand ist dieser Kompromiss optimal, und Sie können die räumliche Ausdehnung der Umlaufbahn nicht vergrößern oder verkleinern, ohne die Energie zu erhöhen.

Auf einem anderen Track fragst du

Wie kann es einen Drehimpuls haben, ohne um den Kern zu kreisen und sein Drehimpuls erhalten zu bleiben?

Die Antwort darauf ist, dass Sie aufhören müssen, an das Elektron zu denken, das irgendetwas "kreist". Die einzige relevante physikalische Größe ist die Wellenfunktion des Elektrons. Das Elektron hat einen Bahndrehimpuls, wenn seine Wellenfunktion auf Bahnen, die um den Kern herumgehen, signifikante Phasenänderungen aufweist. Das ist es.

Schließlich in Bezug auf

Wie richtig ist es, den klassischen Drehimpuls mit der Drehimpulsalgebra in der QM zu assoziieren, die eigentlich aus einer Rotationssymmetrie entsteht.

Sie unterschätzen stark das Ausmaß, in dem der Drehimpuls als Algebra entsteht, die mit der Rotationssymmetrie in der klassischen Physik verbunden ist. Tatsächlich ist die Algebra genau dieselbe; Sie ersetzen nur Kommutatoren ich [ · , · ] mit Poisson-Klammern { · , · } . Der Drehimpuls ist in der klassischen Physik ebenso mit der Rotationssymmetrie verwandt wie in der Quantenmechanik.

Der „Quanten“-Drehimpuls reduziert sich im klassischen Grenzfall auf den „klassischen“ Drehimpuls. In diesem Sinne sind sie dasselbe. Wo der klassische Drehimpuls im klassischen Hamiltonoperator auftritt, ersetzen wir diesen durch den Quantendrehimpuls im Quanten-Hamiltonoperator.

Natürlich bringt „QM is QM“ einige neue Aspekte mit sich. In diesem Fall besteht eine Unschärferelation zwischen Drehimpuls und Winkelposition:

Δ L z   Δ ϕ ∼ ℏ
Der Drehimpuls ist nur dann wohldefiniert, wenn die Winkelposition völlig unbestimmt ist - und deshalb kann man sich nichts Rotierendes vorstellen, obwohl der Drehimpuls weiterhin die Rotation 'misst'. Das ist genauso, als ob man einen sich ständig ändernden Ort nicht mit einem Zustand bestimmten linearen Impulses assoziieren könnte, wiederum wegen der Unschärferelation.

Die Interpretation, dass das Elektron „manchmal hier“ und „manchmal dort“ in einem fixierten Zustand ist L ist bestenfalls irreführend. Sie zwingen ihn lediglich durch eine Positionsmessung in einen Zustand der eindeutigen Winkellage, bis dahin müssen Sie mit der Unbestimmtheit leben. Im Positionszustand hat es jedoch keinen bestimmten Drehimpuls und ist nicht stationär; es entwickelt sich also durch "Ausbreitung".

In Bezug auf EM-Wellen liegt der Grund dafür, dass keiner dieser Zustände strahlt, darin, dass wir das elektromagnetische Feld nicht in den Hamilton-Operator einbeziehen H des Wasserstoffatoms (mit Ausnahme der Coulomb-Kraft). Wenn wir das tun, sehen wir, dass es Übergänge zwischen verschiedenen Zuständen unterschiedlicher Energien gibt (d. h. verschiedene Eigenzustände von H )- das führt zum Beispiel zu den Emissionsspektren . Der Unterschied zwischen diesem und klassischen Modellen besteht darin, dass Übergänge nur zwischen diesen diskreten Zuständen stattfinden können und nicht zu beliebigen "Bahnen". Das bedeutet, dass keine Übergänge zu Energien unterhalb des Grundzustands stattfinden können und das System nicht unendlich Energie verliert.

Messungen des Drehimpulses können durch die Bewegung des Atoms in einem Magnetfeldgradienten durchgeführt werden (siehe Stern-Gerlach-Experiment und diese Frage).

Während es einen Ursprung für den Positionsoperator gibt R → , und damit der Drehimpuls L → = R → × P → einen Ursprung hat, ist es etwas oberflächlich zu sagen, dass es einen Drehimpulsoperator gibt. Was Sie können, sind drei Operatoren L ^ X , L ^ j , Und L ^ z dessen Formen von den Formen der drei Komponenten des klassischen Vektors inspiriert sind L → = R → × P → .

Und Sie könnten wirklich noch viel mehr Operatoren mögen N X L ^ X + N j L ^ j + N z L ^ z für drei beliebige reelle Zahlen N X , N j , N z oder L ^ X L ^ X + L ^ j L ^ j + L ^ z L ^ z .

Nun kann es sogar sein, dass Sie das System von Proton und Elektron betrachten wollen, dann für Ihre verallgemeinerten Koordinaten den Massenschwerpunkt für drei der Koordinaten wählen und als letztes die Position des Elektrons relativ zum Massenschwerpunkt drei. Der Hamilton-Operator ergibt sich dann als regulärer kinetischer Energieterm der Schrödinger-Gleichung (mit einer reduzierten Masse) in der relativen Position und als kinetischer Energieterm für den Massenmittelpunkt, wobei das Potenzial alles in Bezug auf die relativen Koordinaten ist. Wenn der Hamilton-Operator als Summe von Termen ausgedrückt wird, die nur von einigen Koordinaten abhängen, führt dies zu einer natürlichen Lösung der Variablentrennung. Dies bedeutet nur, dass, wenn Sie das Proton betrachten, der Positionsvektor für Ihren Drehimpuls für den Massenmittelpunkt des Proton-Elektron-Systems sein könnte. ebenso wie der Ursprung der Standardwasserstoffwellenfunktion. So ( X ^ , j ^ , z ^ ) (was im Gegensatz zum Triple L ^ X , L ^ j , L ^ z , ist eine Observable, da die Komponenten pendeln) hat als Ursprung den Massenmittelpunkt, nicht den Ort des Protons.

Jetzt können Sie ein anderes Problem sehen. Die verschiedenen Drehimpulsoperatoren sind nicht die Vektorkomponenten einer einzelnen Vektorobservablen, die als Drehimpuls bezeichnet wird. Sie können "den" Drehimpulsvektor nicht messen. Und wenn Sie sich in einem Eigenzustand von befinden L 2 ^ = L ^ X L ^ X + L ^ j L ^ j + L ^ z L ^ z Sie haben keinen bestimmten Wert eines Drehimpulsvektors, es gibt keine Observable, die als Drehimpulsvektor bezeichnet wird. Sie messen es also nicht, und die Teilchen oder sogar das System haben keins. Es gibt viele Operatoren, aber für den Drehimpuls gibt es keinen beobachtbaren Vektor wie für Ort oder Impuls.

Also jetzt, wo du das sagst [ L 2 ^ , H ^ ] = 0 Sie sagen nicht, dass ein Vektor erhalten bleibt. Alles, was Sie sagen, ist, dass es für beide Operatoren gemeinsame Eigenvektoren gibt, und da einer von ihnen der Generator von Zeitübersetzungen ist, ändern die gemeinsamen Eigenvektoren nur ihre Phase in der Zeit. Das kann man auch argumentieren [ L 2 ^ , L ^ z ] = 0 Und [ L ^ z , H ^ ] = 0 also gibt es Eigenvektoren, die allen drei Operatoren gemeinsam sind. Aber es gibt immer noch keinen Vektor.

Es gibt keinen zu erhaltenden Vektor. Das kann seltsam klingen, da [ L ^ X , H ^ ] = [ L ^ j , H ^ ] = [ L ^ z , H ^ ] = 0 aber da die beobachtbaren L ^ X , L ^ j , Und L ^ z pendeln nicht miteinander, sie haben keine gemeinsamen Eigenvektoren und können daher nicht alle beobachtet werden. Es gibt keinen zu erhaltenden Vektor , obwohl jede Komponente, wenn sie als Eigenwert oder Eigenvektor existieren würde, erhalten bleiben würde. Es gibt einfach keinen Drehimpulsvektor.

Und dies ist darüber hinaus, wie Position und Impuls Operatoren sind. Mindestens alle drei Komponenten der Position können gemessen werden. Oder es könnten stattdessen alle drei Komponenten des Impulses beobachtet werden. Also der ganze Vektoroperator ( X ^ , j ^ , z ^ ) hat gemeinsame Eigenvektoren, kann also beobachtet werden. Und so können Sie fragen, ob es konserviert ist (ist es nicht). Sie können nicht einmal nach dem Drehimpuls fragen.

In der klassischen Physik hatten Sie also einen Ort und einen Impuls, in der Quantentheorie ersetzen Sie jeden durch Operatoren, aber zumindest kann der gesamte Vektor (ein Vektor oder der ganze andere Vektor) beobachtet werden, sodass Sie diskutieren können, ob Sie ein Fremdvektor des Ortes sind oder Momentum (kann aber nicht zu beidem eigen sein). Jetzt mit Drehimpuls, alles, was Sie haben, sind Dinge wie N X L ^ X + N j L ^ j + N z L ^ z für drei beliebige reelle Zahlen N X , N j , N z oder L ^ X L ^ X + L ^ j L ^ j + L ^ z L ^ z . Aber Sie können nicht mehr als eine Komponente haben, weil sie nicht miteinander pendeln. Der Kompromiss zwischen Position und Impuls hat sich zu einem Kompromiss zwischen verschiedenen Komponenten des Drehimpulses entwickelt.

Sie haben also keine drei Komponenten eines Vektors. Wenn Sie also jemand fragen würde, welches Flugzeug Ihr angebliches Teilchen umkreist, wären Sie völlig ratlos. weil die Idee, dass es umkreist, es so aussehen lässt, als hätte es drei Komponenten eines Drehimpulsvektors. Es tut nicht.

Ich denke, viele Lehrbücher machen keine klare Unterscheidung zwischen drei Observablen wie z L ^ X , L ^ j , Und L ^ z , und mit einem einzigen beobachtbaren Vektor. Wenn Position und Impuls zuerst eingeführt werden, könnten Sie tief und implizit falsche Vorstellungen in Ihrem Gehirn bekommen, bevor Sie schließlich zum Drehimpuls gelangen. Am besten reparieren.

Und auch klassisches Denken kann Sie in Schwierigkeiten bringen, es sei denn, Sie verwenden eine Version der Quantenmechanik, die mit dem jeweiligen klassischen Gepäck kompatibel ist, das Sie verwenden möchten (was möglich ist).

Für Ihre letzten Fragen können Sie den Drehimpulsvektor nicht messen, nicht einmal theoretisch, geschweige denn experimentell. Und es hat die gleiche Beziehung zu symmetrisch wie in der klassischen Physik, und die Algebra ist eine Algebra von Operatoren, und die Tatsache, dass sie nicht pendeln, ist genau der springende Punkt dafür, dass es keinen beobachtbaren Drehimpulsvektor gibt.

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