Bewertung von Wasserstoffatom-Matrixelementen

Betrachten Sie den Operator

$$\mathcal{P}=L_y L_z$$ und die Wasserstoffatomzustände $\left|n,l,m\right\rangle$. Bewerten Sie das Verhältnis $$\mathcal{R}=\frac{\left\langle3,1,-1|\mathcal{P}|3,1,0\right\rangle}{\left\langle3,1,0|\mathcal{P}|3,1,1\right\rangle}.$$

Das habe ich erstmal angemerkt$\mathcal{P}\neq\mathcal{P}^\dagger$, so habe ich gesetzt

$$\mathcal{P}_\mathrm{sym}\equiv\frac{1}{2}\left\{L_y,L_z\right\},$$ da dies die beobachtbare Größe ist. Dann habe ich geschrieben $\mathcal{P}_\mathrm{sym}$in Bezug auf sphärische Tensoren $L^{(k)}_q$von Rang $k$(mit $2k+1$Komponenten), erhalten $$\mathcal{P}_\mathrm{sym}=\frac{i}{2}\left(L^{(2)}_1 + L^{(2)}_{-1}\right).$$ Nun, unter Verwendung des Wigner-Eckart-Theorems habe ich bekommen $$\mathcal{R}_{\mathrm{sym}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{10}}\left\langle3,1||L^{(2)}||3,1\right\rangle}{\sqrt{\frac{3}{10}}\left\langle3,1||L^{(2)}||3,1\right\rangle}=\frac{1}{\sqrt3}.$$

Aber mit einer direkten Methode habe ich auch (seit$n=3$Ist repariert)

$$\mathcal{R}_{\mathrm{sym}}=\frac{\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}&-1&\\1&&1\\&-1&\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}&-1&\\1&&1\\&-1&\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}=-1.$$ Wo mache ich einen Fehler?