Feinstrukturkorrektur

Der einfachste Weg, das zu sehen$p^4$kugelsymmetrisch ist, ist es im Impulsraum zu betrachten. Wenn Sie sich bewerben$p^4$zu einem Impuls-Eigenzustand$|p\rangle$das Ergebnis hängt offensichtlich nur von der Größe des Impulsvektors des Zustands ab und nicht von seiner Orientierung, also wenn$R$ist ein Rotationsoperator, den wir haben

$$\begin{equation} p^4 R|p\rangle = Rp^4|p\rangle \end{equation}$$ Da die Impuls-Eigenzustände eine Basis bilden, können wir dieses Ergebnis durch Linearität auf einen allgemeinen Zustand erweitern, so haben wir $p^4R = Rp^4$, mit anderen Worten $H_r^\prime$ist kugelsymmetrisch.

Die Drehimpulsoperatoren sind als Generatoren für Rotationen definiert, also wenn$R_z(\delta\theta)$ist eine infinitesimale Drehung um die$z$Achse,$L_z$wird von gegeben

$$\begin{equation} R_z(\delta\theta) = 1 -\imath\delta\theta L_z + O(\delta\theta^2)\end{equation}$$ Wenn wir einen kugelsymmetrischen Operator haben, $Q$, Dann $[R,Q] = 0$für alle Umdrehungen $R$. Insbesondere $$\begin{align*} 0 & = [R_z(\delta\theta),Q]\\ & = [1- \imath\delta\theta L_z, Q]\\ \Rightarrow 0 &= [L_z, Q]\end{align*}$$

Wenn wir degenerierte Störungstheorie betreiben, besteht das Problem im Wesentlichen darin, eine Basis zu finden, in der die Störungs-Hamilton-Funktion$H_r^\prime$diagonal ist. Wir können dies auf altmodische Weise tun, indem wir die Eigenvektoren finden, aber das ist langwierig und langweilig. Der Trick, dies zu umgehen, besteht darin, einen Operator zu finden,$S$, verstehen wir bereits, was mit der Störung pendelt. Seit$H_r^\prime$Und$S$pendeln sie haben eine Basis von gegenseitigen Eigenvektoren, also wenn wir diese Basis verwenden$H_r^\prime$wird schon diagonal sein und wir haben uns viel Arbeit erspart.