Zustand mit Drehimpuls ungleich Null - kann nicht durch Kugelharmonische beschrieben werden?

Dies liegt daran, dass jeder kugelförmig invariante Zustand ist$\psi$muss einen Drehimpuls von Null haben.

In der Tat, durch Hypothesen, der Staat$\psi$überprüft

$$\psi(R_{\vec n}(\theta)\vec{x} ) = (e^{i \theta \vec{n}\cdot \vec{\hat{J}}} \psi)(\vec{x}) = \psi(\vec{x})\tag{1}$$ Wo$\vec{n}\cdot \vec{\hat{J}}$ist der selbstadjungierte Rotationsgenerator$R_{\vec n}(\theta)$um$\vec{n}$, dh es ist der Drehimpuls entlang$\vec{n}$. Unter der$\theta$Ableitung von (1) für$\theta=0$wir haben $$\vec{n}\cdot \vec{\hat{J}} \psi =0$$ insbesondere z$k=x,y,z$, $$\hat{J}_k \psi=0\:,$$ so dass $$\hat{J}^2 \psi = \hat{J}^2_x\psi + \hat{J}^2\psi + \hat{J}_z^2=0\:.$$

NACHTRAG . Tatsächlich wird ein Zustand durch einen normalisierten Vektor bis zu einer Phase dargestellt . Ein kugelsymmetrischer Zustand wird daher durch einen Vektor dargestellt, der eine Version von (1) erfüllt, die schwächer ist als die oben dargestellte:

$$\psi(R_{\vec n}(\theta)\vec{x} ) = (e^{i \theta \vec{n}\cdot \vec{\hat{J}}} \psi)(\vec{x}) = \chi(\theta, \vec{n})\psi(\vec{x})\tag{2}$$ Wo$|\chi(\theta, \vec{n})|=1$. Unter der$\theta$Ableitung für$\theta=1$wir finden $$\vec{n}\cdot \vec{\hat{J}} \psi = \alpha(\vec{n}) \psi$$ wo der Eigenwert ist $$\alpha(\vec{n}) = \frac{d\chi(\theta, \vec{n})}{d\theta}|_{\theta=0}$$ was eine reelle Zahl ist, folgt leicht aus$|\chi(\theta, \vec{n})|=1$. Die gemeinsamen Eigenvektoren$\psi \neq 0$von$\hat{J}_x,\hat{J}_y,\hat{J}_z$den gemeinsamen Eigenwert haben$0$wie es durch direkte Betrachtung bewiesen werden kann (oder durch ein einfaches theoretisches Argument unter Ausnutzung der Vertauschungsbeziehungen$[\hat{J}_x,\hat{J}_y]= i\hat{J}_z$). Wir schließen daraus, dass dieser vollständigere Weg zum gleichen Ergebnis wie zuvor führt.