Warum entspricht ℓ=0ℓ=0\ell=0 kugelsymmetrischen Lösungen für die Kugelflächenfunktionen?

Question

Warum entspricht ℓ=0ℓ=0\ell=0 kugelsymmetrischen Lösungen für die Kugelflächenfunktionen?

Benutzer24082

In der Quantenmechanik warum machen Zustände mit $\ell=0$ im Wasserstoffatom kugelsymmetrischen Kugelflächenfunktionen entsprechen?

xish

Meinen Sie das im konzeptionellen oder mathematischen Sinne?

Benutzer24082

Ich denke, beides wäre entzückend.

Geoffrey

Fragst du warum

Y_{0}^{0} (θ, ϕ)

$Y_0^0(\theta,\phi)$ kugelsymmetrisch ist, oder warum die Kugelflächenfunktionen ein Teil der Lösung sind, oder warum der Zustand mit Drehimpuls Null kugelsymmetrisch ist? Eigentlich könnte die Antwort auf jede dieser Fragen sehr gut lauten: Weil die Mathematik es sagt.

Benutzer24082

Ich frage, warum NUR die Zustände mit Drehimpuls Null symmetrisch sind.

JoshPhysik

Ist Ihnen bewusst, dass es nur einen einzigen Staat mit gibt

ℓ = 0

$\ell = 0$ , nämlich

Y_{0}^{0}

$Y^0_0$ , und es ist konstant und daher kugelsymmetrisch.

Slawen

Ein Drehimpuls ungleich Null bedeutet, dass er irgendwo hin zeigen muss, daher sind nicht alle Raumrichtungen äquivalent, daher fehlt die Kugelsymmetrie.

BMS

@Slaviks Schöne intuitive Antwort.

Antworten (2)

Warum entspricht ℓ=0ℓ=0\ell=0 kugelsymmetrischen Lösungen für die Kugelflächenfunktionen?

Meinen Sie das im konzeptionellen oder mathematischen Sinne?
Fragst du warum $Y_0^0(\theta,\phi)$ kugelsymmetrisch ist, oder warum die Kugelflächenfunktionen ein Teil der Lösung sind, oder warum der Zustand mit Drehimpuls Null kugelsymmetrisch ist? Eigentlich könnte die Antwort auf jede dieser Fragen sehr gut lauten: Weil die Mathematik es sagt.
Ich frage, warum NUR die Zustände mit Drehimpuls Null symmetrisch sind.
Ist Ihnen bewusst, dass es nur einen einzigen Staat mit gibt $\ell = 0$ , nämlich $Y^0_0$ , und es ist konstant und daher kugelsymmetrisch.
Ein Drehimpuls ungleich Null bedeutet, dass er irgendwo hin zeigen muss, daher sind nicht alle Raumrichtungen äquivalent, daher fehlt die Kugelsymmetrie.

Adam · Answer 1

Eine Möglichkeit, dies zu verstehen, besteht darin, dies für die sphärische Harmonische zu erkennen $|l,m\rangle$ mit $l=0$ (und offensichtlich $m=0$ ), wir haben $\hat L_i|0,0\rangle=0$ , Wo $\hat L_i$ der Drehimpulsoperator in Richtung ist $i=x,y,z$ . Es ist offensichtlich für $\hat L_z$ , welcher Eigenwert ist $m=0$ , und kann für die anderen beiden verifiziert werden.

Dann der Rotationsoperator $\hat R(\theta)$ um eine Richtung $\vec n$ mit Winkel $\theta$ wird von gegeben

\hat{R} (θ) = \exp (ich θ \vec{N} . \vec{\hat{L}})

$\hat R(\theta)=\exp(i\theta \,\vec n . \vec{\hat L} )$ woraus wir deutlich sehen, dass der Staat

| 0, 0 ⟩

$|0,0\rangle$ ist für alle Rotationen unveränderlich:

\hat{R} (θ) | 0, 0 ⟩ = | 0, 0 ⟩

$\hat R(\theta)|0,0\rangle=|0,0\rangle$ und ist somit kugelsymmetrisch.

In dieser Formulierung sehen Sie, dass es der einzige Zustand ist, der so ist. Sie können auch zeigen, dass der Zustand $|l,0\rangle$ ist achsensymmetrisch (längs $z$ ) usw. Siehe zum Beispiel dieses schöne Bild: Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Benutzer35033 · Answer 2

Angenommen, es gäbe eine kugelsymmetrische Wellenfunktion $\psi({\bf r})=f(r)$ wofür $l\neq0$ . Das kann nicht sein, denn wenn wir rechnen $\langle \psi | L^2 | \psi \rangle$ wir werden immer null bekommen, da jeder Term in ist $L^2$ hat Derivate in Bezug auf $\theta$ Und $\phi$ .

Konzeptionell gesehen gibt ein kugelsymmetrischer Zustand dem Elektron die Möglichkeit, sich auf einer Umlaufbahn um eine beliebige Achse zu befinden. Mit anderen Worten, es umkreist keine Achse.

Warum entspricht ℓ=0ℓ=0\ell=0 kugelsymmetrischen Lösungen für die Kugelflächenfunktionen?

Benutzer24082

xish

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Geoffrey

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JoshPhysik

Slawen

BMS

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Adam

Benutzer35033

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