Das Konzept der Wellenfunktion und ihre Vielseitigkeit richtig verstehen

Die Wellenfunktion ist sicherlich vielseitiger, als Sie ihr zuschreiben. Die Wellenfunktion enthält alle Informationen über das Teilchen. Dies können räumliche Informationen sein, wie in dem von Ihnen betrachteten Fall, aber es könnten "interne" Informationen über das Teilchen sein, die nichts mit einer räumlichen Position oder einem Impuls zu tun haben. Zum Beispiel gibt es Quarks in drei "Farben", und "welche Farbe" es ist, wird durch einen Teil der Wellenfunktion kodiert, anstatt eine Funktion davon zu sein$x$, ist eine Funktion eines diskreten Index$i=\{1,2,3\}$.

Dies könnte verwirrend sein, wenn Sie an die Wellenfunktion als buchstäbliche Funktion des Raums, des Endes, denken. Der richtige Weg, es zu verstehen, ist, wie Sie in der zitierten Passage sagten: Es ist ein Vektor in einem abstrakten Raum, den wir Hilbert-Raum nennen. Was ist das Grundlegendste, was Sie über Vektoren wissen? "Man kann sie auf vielen verschiedenen Grundlagen beschreiben." Ja. Wenn Sie also von der Wellenfunktion als Funktion von sprechen$x$, Sie meinen, Sie beschreiben diesen Vektor anhand von räumlichen Punkten: Dieser Vektor hat eine Komponente entlang jeder dieser Basisrichtungen, dh an jedem Punkt$x$. Wenn Sie in sphärische Harmonische umwandeln, ändern Sie nur die Basis in die Basis, die dem Drehimpuls entspricht. Und auf dieser Grundlage lassen sich die Wahrscheinlichkeiten für den Aufenthalt in verschiedenen Drehimpulszuständen einfach ablesen, so wie früher die Wahrscheinlichkeiten für den Aufenthalt in verschiedenen Raumregionen abgelesen werden konnten.

Also deine Frage

Die so oder so geschriebene Wellenfunktion sollte immer noch nur die Information über die Wahrscheinlichkeit tragen, das Teilchen in einem Raumgebiet zu finden. Wie können wir die benötigten Informationen extrahieren und warum?

entspricht der folgenden Frage nach den von Ihnen gewohnten Vektoren:

Dieser Vektor wird derzeit in einer bestimmten Basis ausgedrückt, sodass er nur Informationen über seine Komponenten entlang dieser Basis trägt. Wie kann ich jemals Informationen über seine Komponenten auf einer anderen Basis extrahieren?

Außer du kennst die Antwort darauf. Der Vektor in einer Basis enthält immer noch die gleichen Informationen, wie wenn er in einer anderen Basis ausgedrückt würde. Um das eine vom anderen zu finden, macht man einfach etwas Trigonometrie. Genauso ist es mit der Wellenfunktion...

Wie sieht diese „Trigonometrie“ in der Quantenmechanik aus? Ich werde die Dirac-Notation verwenden, weil es so aussieht, als ob Sie damit vertraut sind. In dieser Notation ist die Wellenfunktion als Funktion des Raums$\psi(x) = \langle{x}|{\psi}\rangle$, also der Vektor$|\psi\rangle$auf die Basis projiziert$\langle x|$. Nun hätten wir die Wellenfunktion stattdessen auch in Form von Kugelflächenfunktionen ausdrücken können. Schreiben wir das als$\psi_{lm} = \langle lm|{\psi}\rangle$. Diese Dinge wären die komplexen Zahlen, die Sie quadrieren würden, um Wahrscheinlichkeiten für die Messung verschiedener Drehimpulswerte zu erhalten! Die verbleibende Frage ist, wie man von einem zum anderen umwandelt. Dazu müssen wir die ausdrücken$\langle lm|$in Bezug auf die$\langle x|$. Nennen wir das$Y_{lm}(x) = \langle x|lm\rangle$. (Ich schreibe noch$x$hier, aber natürlich$x$lässt sich durch ausdrücken$\theta$Und$\phi$.) Der berühmte$Y_{lm}$s sind die Projektionen der Drehimpulsbasisvektoren auf die Positionsbasisvektoren. Zuletzt müssen wir nur noch die einfügen$\langle lm|$in unseren Ausgangsausdruck$\langle x|\psi \rangle$. Weil das$\langle lm|$bilden eine vollständige Basis, wenn wir darüber summieren, ergibt sich der Identitätsoperator im folgenden Sinne:

$$\begin{equation}1=\sum_{lm} |lm\rangle \langle lm| \end{equation}$$ wobei die Summe über die entsprechenden Werte läuft$l$Und$m$. (Ich gehe davon aus, dass Sie mit dieser Art von Identität vertraut sind. Es scheint, als würden Sie auf Ihrem ursprünglichen Beitrag basieren.) Da dies gleich 1 ist, können wir es in unseren ursprünglichen Ausdruck einfügen $$\begin{equation} \psi(x)=\langle x|\psi \rangle = \sum_{lm} \langle x|lm\rangle \langle lm|\psi\rangle = \sum_{lm} Y_{lm}(x) \langle lm|\psi\rangle. \end{equation}$$ Erinnere dich daran$\langle lm|\psi\rangle$gibt die Wahrscheinlichkeiten an, an denen wir interessiert sind. Wenn wir uns also diesen Ausdruck ansehen, sehen wir, dass es sich um die Koeffizienten von handelt$Y_{lm}$die Sie nun an dem Ausdruck in Ihrem Beitrag ablesen können.

Zuerst eine schöne Übersicht über Vektoren. Wenn wir einen Vektor haben$\mathbf v$, können wir diesen Vektor als Linearkombination von Basisvektoren ausdrücken. Und es gibt keinen einzigartigen Weg, dies zu tun. Das typische Beispiel, das wir zuerst sehen, ist so etwas wie$\mathbf v=v_x\,\hat x+v_y\,\hat y+v_z\,\hat z$, wobei die Basisvektoren mit den Koordinatenachsen ausgerichtet sind. Aber wir können einige andere linear unabhängige Basisvektoren wählen, die nicht mit den Achsen ausgerichtet sind, wenn wir wollen. Im Allgemeinen haben wir nur$\mathbf v=v_1\,\hat e_1+v_2\,\hat e_2+v_3\,\hat e_2$.

Noch wichtiger ist die Tatsache, dass, wenn wir wissen, wie die Basisvektoren$\hat x,\hat y, \hat z$lässt sich durch ausdrücken$\hat e_1,\hat e_2,\hat e_3$, dann können wir uns leicht vom Beschreiben entfernen$\mathbf v$in der ersten Basis zu beschreiben$\mathbf v$in den zweiten Basen (oder umgekehrt).

Nun zu deiner Frage

Aber wie und warum kann ich Informationen darüber ableiten$L^2$Und$L_z$nur mit der Wellenfunktion?

Die Informationen eines Quantensystems sind mathematisch im Zustandsvektor kodiert $|\psi\rangle$. Was wir mit der "Wellenfunktion" sagen$\psi(\mathbf r)$ist wirklich nur eine Funktion, die die Komponenten des Zustandsvektors beschreibt$|\psi\rangle$ in der Positionsbasis (d. h. der Basis, die durch den kontinuierlichen Satz von Positionsfremdstaaten gebildet wird$|x\rangle$).

Wenn wir außerdem wissen, wie die Positionsbasisvektoren sind$|x\rangle$beziehen sich auf Drehimpulsbasisfunktionen$|\ell,m\rangle$(durch die sphärischen harmonischen Funktionen), dann kennen wir sofort die Drehimpulsinformationen von$|\psi\rangle$durch Bezug$\psi(\mathbf r)$(die Informationen der "Ortskomponenten") zu Informationen über die "Winkelimpulskomponenten".

Aber um die Wellenfunktion auf diese Weise zu verwenden, um Ergebnisse über den Drehimpuls zu finden, sollte die Wellenfunktion in der Basis der Eigenzustände von ausgedrückt werden$L_z$, Rechts? Wir machen das nicht! Stattdessen schreiben wir es mit den Eigenfunktionen um, was nicht dasselbe ist oder zumindest nicht offensichtlich ist.

Also hier ist, was du tust. Sie können Ihren Zustand als Linearkombination von Drehimpulszuständen ausdrücken:

$$|\psi\rangle=\sum_{\ell,m}\psi_{\ell,m}|{\ell,m}\rangle$$

und dann betrachten Sie die Positionsbasiskomponenten davon

$$\langle \mathbf r|\psi\rangle=\psi(\mathbf r)=\sum_{\ell,m}\psi_{\ell,m}\langle\mathbf r|{\ell,m}\rangle$$

und diese$\langle\mathbf r|{\ell,m}\rangle$sind Ihre sphärischen Harmonischen. Daher, wenn Sie sich ausdrücken können$\psi(\mathbf r)$als lineare Kombination von sphärischen Harmonischen, wissen Sie$\psi_{\ell,m}$. Wenn Sie wissen$\psi_{\ell,m}$dann weißt du was$|\psi\rangle$ist in Form von Drehimpuls-Eigenzuständen. Und natürlich,$|\psi_{\ell,m}|^2$gibt Ihnen die Wahrscheinlichkeit an, mit der der Zustand gemessen wird$|\ell,m\rangle$Ausgangszustand gegeben$|\psi\rangle$.

Ihre Aussage darüber, was eine Wellenfunktion ist, ist überhaupt nicht falsch und Ihr zweites Beispiel widerspricht in keiner Weise Ihrer ersten Aussage! Der Nutzen der Wellenfunktion wird genau und prägnant erklärt. Ihr zweites Beispiel drückt lediglich eine Wellenfunktion in einem anderen Satz von Koordinaten aus, sphärisch. Aber Sie können immer noch sagen, dass das Integral dieser Funktion korrekt durchgeführt wird (und Ihre Aussage enthält einen Fehler), es misst die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen innerhalb des Integrationsintervalls zu finden. In 3D wäre dieses Intervall eine 3D-Zelle. Ihr Kugelkoordinatenbeispiel widerspricht nicht Ihren Erwartungen.

Um Ihren Fehler zu korrigieren, wird NICHT die Wellenfunktion integriert, sondern ihre Größe im Quadrat.$|\psi|^2$, die die Wahrscheinlichkeitsdichte misst.

Um Messungen anderer Größen zu erhalten, fragen Sie nicht nach der Nützlichkeit der Wellenfunktion, sondern nach der Nützlichkeit der mathematischen Abstraktion linearer Operatoren, die auf einen Funktionsraum wirken. Dies ist sogar in der klassischen Feldtheorie, Akustik, Elektromagnetik usw. vorhanden.

Die Fähigkeit, Informationen über andere Größen „abzuleiten“, ist in die Postulate der Quantentheorie eingebaut. Dolmetschen$|\psi|^2$als Wahrscheinlichkeitsdichte dann der Erwartungswert einer beliebigen Variablen,$v$, bezeichnet$<v>$, bezogen auf das Teilchen wäre das Integral von$v |\psi|^2$. Dies ist nur die klassische Wahrscheinlichkeitstheorie, die auf die messbaren Größen angewendet wird, die sich auf den Zustand eines Teilchens beziehen. Ein Hauptunterschied, der in den Postulaten der QM zum Ausdruck kommt, besteht darin, dass eine Observable als Operator dargestellt wird, der auf die Funktionen im Hilbert-Raum einwirkt. Die QM-Version ist also der Erwartungswert$<\psi|v\psi>$Wo$v$ist jetzt Betreiber. Auf dieser Grundlage kann man mit der Wellenfunktion und einem Operator für die Menge eine Schätzung für jede wohldefinierte Menge erhalten.

Was das letzte Beispiel betrifft, das eine Wellenfunktion diskutiert, die als Summe über andere Funktionen geschrieben wird, ist dies wiederum eher ein mathematisches Prinzip, das auf ein physikalisches Postulat abgebildet wurde. Der Hilbert-Raum ist eine Abstraktion eines linearen Vektorraums, und wie alle linearen Räume kann jede Funktion als Summe über einer orthonormalen Basis ausgedrückt werden, wie andere Antworten zeigen. Dies ist nicht notwendig, damit die Wellenfunktion gut definiert oder nützlich ist. Im Gegensatz dazu ist dies eine Möglichkeit, Mathematik zu verwenden, um mehr daraus zu machen. Jede beobachtbare Größe wird als Operator (insbesondere ein hermitescher Operator) ausgedrückt, und die Eigenwerte dieses Operators stellen die zulässigen beobachteten Werte dar. Die Lösungen der Eigenwertgleichung für jeden einzelnen dieser Operatoren als Basis für den Raum der Funktionen. Jede Funktion im Raum kann als Linearkombination einer der Basen geschrieben werden. Was Sie also als Beispiel angegeben haben, ist eine solche Linearkombination spezifischer Eigenfunktionen der Drehimpulsoperatoren. Aber dies hätte genauso gut der lineare Impulsoperator oder der Positionsoperator oder jeder andere "physikalische Messoperator" sein können. Wenn Sie eine beliebige Wellenfunktion auf die Basis einer bestimmten Messeigenfunktion projizieren, erhalten Sie die Wahrscheinlichkeit, den dieser Eigenfunktion entsprechenden Eigenwert zu messen. Operator. Wenn Sie eine beliebige Wellenfunktion auf die Basis einer bestimmten Messeigenfunktion projizieren, erhalten Sie die Wahrscheinlichkeit, den dieser Eigenfunktion entsprechenden Eigenwert zu messen. Operator. Wenn Sie eine beliebige Wellenfunktion auf die Basis einer bestimmten Messeigenfunktion projizieren, erhalten Sie die Wahrscheinlichkeit, den dieser Eigenfunktion entsprechenden Eigenwert zu messen.

Ich könnte Ihnen die Wellenfunktion geben$sin(kr)/kr$die überall wohldefiniert und normierbar ist. Will man die Wahrscheinlichkeit bestimmen, mit der man einen Drehimpuls messen kann$l=6$, drücken Sie die Funktion als unendliche Reihe in aus$L^2$Eigenfunktionen und ziehen Sie den Koeffizienten der$l=6$Begriff. Es ist ein wenig einfacher als das, da dieser Koeffizient gerecht ist$<\phi_6|\psi>$, Wo$\phi_6$ist der$l=6$Eigenfunktion. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, diesen Wert zu beobachten, gerade$|<\phi_6|\psi>|^2$. Gleiches gilt für den linearen Impuls, finden Sie einfach die Eigenfunktionen für diesen Operator und berechnen Sie die Projektion darauf.$|<\phi_k|\psi>|^2$.

Wenn man ein großes statistisches Ensemble von Experimenten aufbauen würde, um diese Variable mit identischen Startwellenfunktionen zu messen, dann wäre der Erwartungswert dieses Messoperators,$<\psi|M\psi>$, würde dem beobachteten Durchschnittswert entsprechen. Sobald Sie die Messung durchgeführt haben, "kollabieren Sie die Wellenfunktion" und das Teilchen befindet sich nicht in einem Eigenzustand von$M$, werden alle zukünftigen Messungen genau die gleiche Menge ergeben. Die einzige Möglichkeit, die statistische Natur davon zu überprüfen, besteht darin, die Wellenfunktion zurückzusetzen und die Messung erneut durchzuführen. Sie werden höchstwahrscheinlich jedes Mal ein anderes Ergebnis erhalten, einige Wiederholungen können auftreten, wie beim Werfen einer Münze und dem Erhalten von {H, T, H, H, T, H, T, T, ...}.

Um den "Wert" der Wellenfunktion zu verstehen, müssen Sie wirklich den vollständigen Satz von Postulaten für QM und die derzeit akzeptierte Interpretation kennen, die sich ständig ändern kann.